Иногда математики пытаются решить проблему напрямую, а иногда они подходят к ней с оглядкой. Это особенно верно, когда математические ставки высоки, как в случае с гипотезой Римана, решение которой сопровождается наградой в 1 миллион долларов от Математического института Клэя. Ее доказательство дало бы математикам гораздо более глубокую уверенность в том, как распределены простые числа, а также подразумевало бы множество других последствий — делая ее, возможно, самым важным открытым вопросом в математике.
Математики понятия не имеют, как доказать гипотезу Римана. Но они все равно могут получить полезные результаты, просто показав, что число возможных исключений из нее ограничено. «Во многих случаях это может быть так же хорошо, как и сама гипотеза Римана», — сказал Джеймс Мейнард из Оксфордского университета. «Мы можем получить похожие результаты о простых числах из этого».
В прорывном результате , опубликованном в мае, Мейнард и Ларри Гут из Массачусетского технологического института установили новый предел на количество исключений определенного типа, наконец побив рекорд, установленный более 80 лет назад. «Это сенсационный результат», — сказал Хенрик Иванец из Ратгерского университета. «Это очень, очень, очень сложно. Но это жемчужина».
Новое доказательство автоматически приводит к более точным приближениям к количеству простых чисел, существующих на коротких интервалах числовой прямой, и может предложить множество других идей о том, как ведут себя простые числа.
Осторожный шаг в сторону
Гипотеза Римана — это утверждение о центральной формуле в теории чисел, называемой дзета-функцией Римана. Дзета-функция ( ζ ) является обобщением простой суммы:
1+12+13+14+15+⋯ .
Этот ряд станет произвольно большим по мере добавления к нему все большего числа членов — математики говорят, что он расходится. Но если вместо этого вы просуммируете
1+122+132+142+152+⋯»=»1+14+19+116+125+⋯
вы получите π26 , или около 1,64. Удивительно мощная идея Римана состояла в том, чтобы превратить ряд, подобный этому, в функцию, например:
ζ(с)»=»1+12с+13с+14с+15с+⋯ .
Итак, ζ(1) бесконечна, но ζ(2)»=»π26 .
Все становится действительно интересным, когда вы позволяете s быть комплексным числом, которое состоит из двух частей: «действительной» части, которая является повседневным числом, и «мнимой» части, которая является повседневным числом, умноженным на квадратный корень из −1 (или i , как пишут математики). Комплексные числа можно изобразить на плоскости, с действительной частью на оси x и мнимой частью на оси y . Вот, например, 3 + 4 i .
Что они могут сделать, так это показать, что такие нули должны быть невероятно редкими. В 1940 году английский математик по имени Альберт Ингем установил верхнюю границу числа нулей, чья действительная часть не равна 1/2, которую математики продолжают использовать в качестве точки отсчета и сегодня.
Несколько десятилетий спустя, в 1960-х и 1970-х годах, другие математики выяснили, как перевести результат Ингама в утверждения о том, насколько сгруппированы или разбросаны простые числа по мере продвижения по числовой прямой, и о других закономерностях, которые они могут образовывать. Примерно в то же время математики также представили новые методы, которые улучшили границы Ингама для нулей с действительной частью, большей 3/4.
Но оказалось, что самыми важными нулями для ограничения были те, у которых действительная часть составляла ровно 3/4. «Многие заголовочные результаты о простых числах были ограничены нашим пониманием нулей с действительной частью 3/4», — сказал Мейнард.
Около десяти лет назад Мейнард начал думать о том, как улучшить оценку Ингхэма для этих конкретных нулей. «Это была одна из моих любимых задач в аналитической теории чисел», — сказал он. «Всегда было заманчиво, что нужно просто немного поработать, и можно будет добиться улучшения». Но год за годом, сколько бы раз он ни возвращался к этому, он продолжал застревать. «Это почти затягивало тебя, и выглядело гораздо более невинно, чем я думаю».
Затем, в начале 2020 года, во время перелета на конференцию в Колорадо, ему пришла в голову идея. Возможно, подумал Мейнард, инструменты из другой области математики, называемой гармоническим анализом, могут оказаться полезными.
Том Медвелл
Ларри Гут, эксперт по гармоническому анализу, который был на той же конференции, просто случайно уже думал в том же направлении. «Но я совсем не знал аналитическую теорию чисел», — сказал он. Мейнард объяснил ему сторону теории чисел за обедом и дал ему тестовый пример для работы. Гут изучал его время от времени в течение нескольких лет, только чтобы понять, что его методы из гармонического анализа не будут работать.
Но он не перестал думать о проблеме и экспериментировал с новыми подходами. Он снова связался с Мейнардом в феврале. Они начали серьезно сотрудничать, объединяя свои разные точки зрения. Несколько месяцев спустя они получили свой результат.
Математический гамбит
Гут и Мейнард начали с преобразования проблемы, которую они хотели решить, в другую. Если у вас есть ноль, не имеющий действительной части 1/2, то связанная с ним функция, называемая многочленом Дирихле, должна выдавать очень большой результат. В результате доказательство того, что существует мало исключений из гипотезы Римана, эквивалентно доказательству того, что многочлен Дирихле не может становиться большим слишком часто.
Ларри Гут, эксперт по гармоническому анализу, который был на той же конференции, просто случайно уже думал в том же направлении. «Но я совсем не знал аналитическую теорию чисел», — сказал он. Мейнард объяснил ему сторону теории чисел за обедом и дал ему тестовый пример для работы. Гут изучал его время от времени в течение нескольких лет, только чтобы понять, что его методы из гармонического анализа не будут работать.
Но он не перестал думать о проблеме и экспериментировал с новыми подходами. Он снова связался с Мейнардом в феврале. Они начали серьезно сотрудничать, объединяя свои разные точки зрения. Несколько месяцев спустя они получили свой результат.
Математический гамбит
Гут и Мейнард начали с преобразования проблемы, которую они хотели решить, в другую. Если у вас есть ноль, не имеющий действительной части 1/2, то связанная с ним функция, называемая многочленом Дирихле, должна выдавать очень большой результат. В результате доказательство того, что существует мало исключений из гипотезы Римана, эквивалентно доказательству того, что многочлен Дирихле не может становиться большим слишком часто.
Видео: https://youtu.be/zlm1aajH6gY. Видео : Алекс Конторович, профессор математики в Ратгерском университете, в этом всеобъемлющем объяснении разбирает известную своей сложностью гипотезу Римана. Эмили Бадер/Quanta Magazine; Гуань-Хуэй Ву и Клэй Шонквилер для Quanta Magazine
Затем математики выполнили еще один акт перевода. Сначала они использовали многочлен Дирихле для построения матрицы или таблицы чисел. «Математики любят видеть матрицы, потому что матрицы — это одна из вещей, которую мы очень хорошо понимаем», — сказал Гут. «Вы учитесь держать уши открытыми и быть готовыми увидеть, что матрицы повсюду».
Матрицы могут «действовать» на математическую стрелку, называемую вектором, которая определяется длиной и направлением, чтобы создать другой вектор. Обычно они изменяют как длину, так и направление вектора, когда они это делают. Иногда существуют особые векторы, которые при прохождении через матрицу изменяют только длину, но не направление. Их называют собственными векторами. Математики измеряют размер этих изменений с помощью чисел, называемых собственными значениями.
Гут и Мейнард переписали свою задачу так, чтобы теперь она касалась наибольшего собственного значения их матрицы. Если бы они могли показать, что наибольшее собственное значение не может стать слишком большим, они бы закончили. Чтобы сделать это, они использовали формулу, которая давала им сложную сумму, и искали способы заставить положительные и отрицательные значения в этой сумме максимально компенсировать друг друга. «Вам нужно перестроить последовательность или посмотреть на нее под прямым углом, чтобы увидеть некоторую симметрию, которая дает некоторое сокращение», — сказал Гут.
Этот процесс включал несколько удивительных шагов, включая «то, что, по моему мнению, является самой важной идеей, которая все еще кажется мне немного волшебной», — сказал Мейнард. В какой-то момент был, казалось бы, очевидный шаг, который они должны были сделать, чтобы упростить свою сумму. Вместо этого они оставили ее в более длинной и сложной форме. «Мы делаем то, что на первый взгляд выглядит совершенно глупо. Мы просто отказываемся делать стандартное упрощение», — сказал Мейнард. «И это многое теряет. Это означает, что теперь мы не можем получить какую-либо простую границу для этой суммы».
Но в долгосрочной перспективе это оказалось выгодным ходом. «В шахматах это называется гамбитом, когда вы жертвуете фигуру, чтобы получить лучшую позицию на доске», — сказал Мейнард. Гут сравнил это с игрой с кубиком Рубика: иногда приходится отменять предыдущие ходы и все ухудшать, прежде чем найти способ поставить больше цветов в нужное место.
«Нужно быть очень смелым, чтобы отказаться от очевидного улучшения и надеяться, что вы сможете восстановить его позже», — сказал Роджер Хит-Браун , математик из Оксфорда и бывший научный руководитель Мейнарда. «Это противоречит всему, что, по моему мнению, вы должны делать».
На самом деле, говоря о собственном опыте работы над этой проблемой, он добавил: «Теперь, когда я об этом думаю, я понимаю, что именно здесь я застрял».
Мейнард сказал, что опыт Гута как гармонического аналитика, а не теоретика чисел, сделал этот гамбит возможным. «Он не имеет изначально вбитых в него правил, поэтому он был более рад рассматривать вещи, которые идут вразрез с теорией».
СВЯЗАННЫЙ:
- Математики преодолели препятствие на пути к расшифровке простых чисел
- Как я научился любить и бояться гипотезы Римана
- Во Вселенной уравнений практически все являются простыми числами
В конечном итоге им удалось получить достаточно хорошую границу для наибольшего собственного значения, что, в свою очередь, привело к лучшей границе для числа потенциальных контрпримеров к гипотезе Римана. Хотя их работа началась с идей из гармонического анализа, которые вдохновили Гута, математики в конечном итоге смогли вычеркнуть эти более сложные методы из картины. «Теперь это выглядит в точности как то, что я мог бы попытаться сделать 40 лет назад», — сказал Хит-Браун.
Дав лучшую границу для числа нулей с действительной частью 3/4, Гут и Мейнард автоматически доказали результаты о том, как распределены простые числа. Например, оценки того, сколько простых чисел находится в заданном интервале, становятся менее точными для более коротких интервалов. Новая работа позволила математикам сократить интервалы, в которых они могут получить хорошие оценки.
Математики подозревают, что доказательство также приведет к улучшениям других утверждений о простых числах. Кажется, есть возможность продвинуть методы Гута и Мейнарда дальше. Но «я чувствую, что это не те методы, которые нужны для решения самой гипотезы Римана», — сказал Мейнард. «Для этого понадобится какая-то большая идея откуда-то еще».
Источник: https://www.quantamagazine.org/sensational-proof-delivers-new-insights-into-prime-numbers-20240715/