Каждую неделю журнал Quanta объясняет одну из самых важных идей, лежащих в основе современных исследований. На этой неделе наш математический редактор Джордана Цепелевич обсуждает теорию Рамсея — математическое исследование того, как из хаоса неизбежно возникает порядок.
К моменту своей смерти в 1930 году, когда Фрэнку Рэмси было всего 26 лет, он уже внес значительный вклад в философию, экономику и математику. Джон Мейнард Кейнс стремился к его идеям; Людвиг Витгенштейн восхищался им и считал своим близким другом. За свою жизнь Рэмси опубликовал всего восемь страниц, посвященных чистой математике: начало статьи о задаче логики. Но в этой работе он доказал теорему, которая в конечном итоге привела к появлению совершенно нового раздела математики — того, что позже назовут теорией Рэмси.
Задачи в теории Рамсея выглядят следующим образом: Допустим, у вас есть граф с пятью вершинами, где каждая пара вершин соединена ребром. Можете ли вы раскрасить каждое ребро в красный или синий цвет таким образом, чтобы в итоге не получился красный или синий треугольник? Да. Но если вы начнете с шести или более вершин, у вас это уже не получится. У вас всегда будет однотонный треугольник, независимо от того, как вы раскрасите его края.
Его теорема гласила, что если система достаточно велика, то, какой бы беспорядочной она ни была, она всегда будет обладать какой-то определенной структурой. Порядок неизбежно возникает из хаоса; закономерности неизбежны. Теория Рамсея изучает, когда это происходит — в наборах чисел, в наборах вершин и ребер, называемых графами, и в других системах. Математики Рональд Грэм и Джоэл Спенсер сравнили это с тем, как вы всегда можете различить закономерности среди звезд на ночном небе.
Математики используют так называемые числа Рамсея, чтобы измерить, насколько большими должны стать графики, прежде чем они неизбежно будут содержать такую монохроматическую структуру, или клику. Число Рамсея R (3) равно 6, потому что граф должен иметь как минимум шесть вершин, чтобы гарантировать наличие красной или синей клики размером 3. Но числа Рамсея, как известно, трудно доказать. Математики знают, что R(4) равно 18, но им еще предстоит вычислить точное значение R(5) и далее.
Попытки решить задачи типа Рамсея привели математиков к разработке некоторых из наиболее важных методов, таких как вероятностный метод. Теория Рамсея также применялась для изучения сетей связи, передачи информации и многого другого.
Что нового и примечательного
За столетие, прошедшее с тех пор, как Рэмси непреднамеренно основал теорию Рамсея, она стала особенно активной областью исследований, в которой всего за последние несколько лет было совершено несколько крупных открытий.
Например, в прошлом году четыре математика доказали новую, более точную верхнюю границу для чисел Рамсея — первое достижение такого рода с 1935 года. “Я был поражен”, — сказал один математик, услышав эту новость. “Меня буквально трясло от получаса до часа”. Всего несколько месяцев спустя математики добились прогресса в расчетах асимметричных чисел Рамсея, которые имеют дело с графами, которые гарантированно содержат красные или синие клики разного размера. Математики в очередной раз сочли этот прогресс “совершенно шокирующим”.
Также шокирует тот факт, что некоторые математики, добивающиеся успехов в решении этих задач, даже моложе, чем был Рэмси, когда он начинал эту область. В 2020 году Quanta написала об Эшвине Сае, ныне аспиранте Массачусетского технологического института, который, будучи студентом, добился значительных результатов в теории Рамсея и смежных областях.
Многие из этих недавних открытий связаны с изучением графиков, которые становятся бесконечно большими. Но математики также все еще пытаются разобраться в небольших числах Рамсея, которые упорно остаются неуловимыми. И они ищут не только монохроматические клики на графах; они также хотят проанализировать появление других структур, таких как ветвящиеся, древовидные структуры, а также циклы, называемые гамильтоновыми циклами.
На самом деле теория Рэмси — это не просто неизбежные закономерности, обнаруживаемые на графиках. Скрытая структура проявляется в списках чисел, нитках бус и даже в карточных играх. Например, в 2019 году математики изучали коллекции множеств, которые всегда можно расположить так, чтобы они напоминали лепестки подсолнуха. В том же году Quanta сообщила об исследовании наборов чисел, которые гарантированно содержат числовые закономерности, называемые полиномиальными прогрессиями. А в прошлом году математики доказали аналогичный результат о наборах целых чисел, которые всегда должны включать в себя три равномерно расположенных числа, называемых арифметическими прогрессиями.
В поисках закономерностей теория Рамсея проникает в суть того, что представляет собой математика: находить красоту и порядок в самых неожиданных местах.