Французский математик потратил десятилетия на разработку набора инструментов, которые сейчас широко используются для укрощения случайных процессов.
Случайные процессы происходят вокруг нас. Сегодня идет дождь, а завтра нет; акции и облигации растут и падают в цене; пробки на дорогах то возникают, то исчезают. Поскольку они управляются многочисленными факторами, которые взаимодействуют друг с другом сложным образом, невозможно предсказать точное поведение таких систем. Вместо этого мы думаем о них с точки зрения вероятностей, характеризуя результаты как вероятные или редкие.
Сегодня французский теоретик вероятности Мишель Талагран был награжден Абелевской премией, одной из высших наград в математике, за разработку глубокого и сложного понимания таких процессов. Премия, вручаемая королем Норвегии, создана по образцу Нобелевской и составляет 7,5 млн норвежских крон (около 700 000 долларов США). Когда ему сообщили, что он победил, «мой разум опустел», сказал Талагран. «Тип математики, которым я занимаюсь, был совсем не модным, когда я начинал. Это считалось второсортной математикой. Тот факт, что мне дали эту награду, является абсолютным доказательством того, что это не так».
Другие математики согласны. Работа Талагранда «изменила мой взгляд на мир», — сказал Ассаф Наор из Принстонского университета. Сегодня, добавил Хельге Холден , председатель комитета премии Абеля, «становится очень популярным описывать и моделировать события реального мира с помощью случайных процессов. Инструментарий Талагранда тут же всплывает в памяти».
Талагранд рассматривает свою собственную жизнь как цепь маловероятных событий. Он едва окончил начальную школу в Лионе: хотя он интересовался наукой, он не любил учиться. Когда ему было 5 лет, он потерял зрение на правый глаз из-за отслоения сетчатки; в возрасте 15 лет он перенес три отслоения сетчатки на другом глазу, из-за чего провел месяц в больнице с забинтованными глазами, опасаясь ослепнуть. Его отец, профессор математики, навещал его каждый день, занимая его ум, обучая его математике. «Вот так я познал силу абстракции», — написал Талагранд в 2019 году после получения премии Шоу, еще одной крупной математической награды, которая сопровождается вознаграждением в размере 1,2 миллиона долларов. (Талагранд использует часть этих денег, вместе со своим выигрышем Абеля, для учреждения собственной премии, «отмечающей достижения молодых исследователей в областях, которым я посвятил свою жизнь».)
Он пропустил полгода учебы, пока восстанавливался, но был вдохновлен и начал сосредотачиваться на учебе. Он преуспел в математике, и после окончания колледжа в 1974 году был принят на работу во Французский национальный центр научных исследований, крупнейший исследовательский институт Европы, где проработал до выхода на пенсию в 2017 году. За это время он получил докторскую степень, влюбился в свою будущую жену, статистика, с первого взгляда (он сделал ей предложение через три дня после знакомства) и постепенно развил интерес к вероятности, опубликовав сотни статей по этой теме.
Это не было предопределено. Талагранд начал свою карьеру, изучая многомерные геометрические пространства. «В течение 10 лет я не мог понять, в чем я хорош», — сказал он. Но он не жалеет об этом отклонении. В конечном итоге это привело его к теории вероятностей, где «у меня была другая точка зрения… которая дала мне возможность смотреть на вещи по-другому», — сказал он. Это позволило ему исследовать случайные процессы через призму многомерной геометрии.
«Он использует свою геометрическую интуицию для решения чисто вероятностных вопросов», — сказал Наор.
Случайный процесс — это набор событий, результаты которых изменяются в зависимости от случая, и их можно смоделировать, например, последовательность подбрасываний монеты, траектории движения атомов в газе или ежедневные суммы осадков. Математики хотят понять взаимосвязь между индивидуальными результатами и совокупным поведением. Сколько раз нужно подбросить монету, чтобы понять, честная ли она? Выльется ли река из берегов?
Талагранд сосредоточился на процессах, результаты которых распределены в соответствии с колоколообразной кривой, называемой гауссовой. Такие распределения распространены в природе и обладают рядом желательных математических свойств. Он хотел узнать, что можно сказать с уверенностью об экстремальных результатах в этих ситуациях. Поэтому он доказал набор неравенств, которые устанавливают жесткие верхние и нижние границы возможных результатов. «Получить хорошее неравенство — это произведение искусства», — сказал Холден. Это искусство полезно: методы Талагранда могут дать оптимальную оценку, скажем, самого высокого уровня, до которого может подняться река в течение следующих 10 лет, или магнитуды самого сильного потенциального землетрясения.
Когда мы имеем дело со сложными, многомерными данными, поиск таких максимальных значений может оказаться сложной задачей.
Допустим, вы хотите оценить риск наводнения на реке, который будет зависеть от таких факторов, как осадки, ветер и температура. Вы можете смоделировать уровень реки как случайный процесс. Талагранд потратил 15 лет на разработку техники, называемой обобщенной цепочкой, которая позволила ему создать многомерное геометрическое пространство, связанное с таким случайным процессом. Его метод «дает вам возможность считывать максимум из геометрии», сказал Наор.
Метод очень общий и, следовательно, широко применимый. Допустим, вы хотите проанализировать массивный, многомерный набор данных, который зависит от тысяч параметров. Чтобы сделать осмысленный вывод, вы хотите сохранить наиболее важные характеристики набора данных, характеризуя его с точки зрения всего нескольких параметров. (Например, это один из способов анализа и сравнения сложных структур различных белков.) Многие современные методы достигают этого упрощения, применяя случайную операцию, которая отображает многомерные данные в пространство с меньшей размерностью. Математики могут использовать метод общей цепочки Талагранда, чтобы определить максимальное количество ошибок, которые вносит этот процесс, что позволяет им определить вероятность того, что некоторая важная характеристика не сохранится в упрощенном наборе данных.
Работа Талагранда не ограничивалась только анализом наилучших и наихудших возможных результатов случайного процесса. Он также изучал, что происходит в среднем случае.
Во многих процессах случайные отдельные события могут в совокупности приводить к высоко детерминированным результатам. Если измерения независимы, то итоги становятся очень предсказуемыми, даже если каждое отдельное событие невозможно предсказать. Например, подбросьте честную монету. Вы не можете ничего сказать заранее о том, что произойдет. Подбросьте ее 10 раз, и вы получите четыре, пять или шесть орлов — близко к ожидаемому значению пяти орлов — примерно в 66% случаев. Но подбросьте монету 1000 раз, и вы получите от 450 до 550 орлов в 99,7% случаев, результат, который еще больше сконцентрирован вокруг ожидаемого значения 500. «Он исключительно точен вокруг среднего значения», — сказал Холден.
«Хотя в чем-то так много случайности, случайность сама себя нейтрализует», — сказал Наор. «То, что изначально казалось ужасным беспорядком, на самом деле организовано».
Это явление, известное как концентрация меры, встречается и в гораздо более сложных случайных процессах. Талагранд придумал набор неравенств, которые позволяют количественно оценить эту концентрацию, и доказал, что она возникает во многих различных контекстах. Его методы знаменовали отход от предыдущих работ в этой области. Доказательство первого такого неравенства, как он написал в своем эссе 2019 года, было «волшебным опытом». Он был «в состоянии постоянного восторга».
Он особенно гордится одним из своих последующих неравенств концентрации. «Нелегко получить результат, который пытается думать о вселенной и в то же время имеет одностраничное доказательство, которое легко объяснить», — сказал он. (Он с удовольствием вспоминает, что однажды воспользовался услугами такси, владелец которого узнал его имя, узнав неравенство на занятиях по теории вероятности в бизнес-школе. «Это было невероятно», — сказал он.)
Как и его общий метод цепочек, неравенства концентрации Талагранда появляются во всей математике. «Удивительно, как далеко это заходит», — сказал Наор. «Неравенства Талагранда — это винты, которые держат все вместе».
Рассмотрим задачу оптимизации, в которой вам нужно отсортировать предметы разных размеров по ячейкам — модель распределения ресурсов. Когда у вас много предметов, очень сложно определить наименьшее количество ячеек, которое вам понадобится. Но неравенства Талагранда могут подсказать, сколько ячеек вам, скорее всего, понадобится, если размеры предметов случайны.
Аналогичные методы использовались для доказательства явлений концентрации в комбинаторике, физике, информатике, статистике и других областях.
Совсем недавно Талагранд применил свое понимание случайных процессов, чтобы доказать важную гипотезу о спиновых стеклах, неупорядоченных магнитных материалах, созданных случайными, часто конфликтующими взаимодействиями. Талагранд был разочарован тем, что, хотя спиновые стекла математически хорошо определены, физики понимали их лучше, чем математики. «Это было занозой в нашей ноге», — сказал он. Он доказал результат — о так называемой свободной энергии спиновых стекол — который дал основу для более математической теории.
На протяжении всей своей карьеры исследования Талагранда были отмечены «способностью просто отступить и найти общие принципы, которые можно использовать везде», — сказал Наор. «Он возвращается и возвращается, и думает о чем-то с самых разных точек зрения. И в конце концов он выдает идею, которая становится рабочей лошадкой, которой пользуются все».
«Мне нравится очень хорошо понимать простые вещи, потому что мой мозг очень медленный», — сказал Талагранд. «Поэтому я думаю о них очень, очень долго». Он сказал, что им движет желание «понять что-то глубоко, в чистом виде, что делает теорию намного проще. Тогда следующее поколение сможет начать оттуда и добиться прогресса на своих собственных условиях».
За последнее десятилетие он добился этого, написав учебники — не только о случайных процессах и спиновых стеклах, но и о области, в которой он вообще не работает, квантовой теории поля. Он хотел узнать об этом, но понял, что все учебники, которые он мог найти, были написаны физиками и для физиков, а не математиков. Поэтому он написал один сам. «После того, как вы больше не можете изобретать вещи, вы можете их объяснить», — сказал он.
Автор: Джордана Цепелевич. Редактор математики — https://www.quantamagazine.org/authors/jordana-cepelewicz/