Автор статьи по математике Джозеф Хоулетт объясняет, почему математики любят классифицировать объекты.
Биология в 18 веке была сосредоточена на систематике. Ошеломляющее разнообразие жизни затрудняло выводы о том, как она возникла. Сначала ученым пришлось расставить все по своим местам, сгруппировав виды в соответствии с общими характеристиками, что было непростой задачей. С тех пор они использовали эти обширные каталоги, чтобы понять различия между организмами и сделать выводы об их эволюционной истории. Химики создали периодическую таблицу Менделеева с той же целью — классифицировать элементы и понять их поведение. А физики создали стандартную модель, чтобы объяснить, как взаимодействуют фундаментальные частицы Вселенной.
В своей книге «Порядок вещей» философ Мишель Фуко описывает эту озабоченность сортировкой как формирующий шаг для наук. “Знание эмпирических индивидуумов, — писал он, — может быть получено только из непрерывного, упорядоченного и универсального сведения в таблицу всех возможных различий”.
Математики так и не смогли избавиться от этой навязчивой идеи. Это потому, что математический зверинец делает биологический каталог похожим на детский зоопарк. Его обитатели не ограничены физической реальностью. Любая мыслимая возможность, независимо от того, обитает ли она в нашей вселенной или в какой-то гипотетической 200-мерной, нуждается в учете. Существует множество различных классификаций, которые можно попробовать — группы, узлы, многообразия и так далее — и бесконечно много объектов, которые нужно отсортировать в каждой из этих классификаций. Классификация — это то, как математики познают странный, абстрактный мир, который они изучают, и как они доказывают основные теоремы о нем.
Возьмем группы, центральный объект изучения в математике. Классификация “конечных простых групп” — строительных блоков всех групп — была одним из величайших математических достижений 20-го века. Десяткам математиков потребовалось почти 100 лет, чтобы завершить ее. В конце концов, они выяснили, что все конечные простые группы делятся на три группы, за исключением 26 детализированных выбросов. Команда преданных своему делу математиков работает над “сжатым” доказательством классификации с 1994 года — в настоящее время оно состоит из 10 томов и нескольких тысяч страниц и все еще не завершено. Но это грандиозное начинание продолжает приносить плоды, и недавно оно помогло подтвердить гипотезу десятилетней давности о том, что можно многое узнать о группе, изучив ее небольшую часть.
Математика, свободная от типичных ограничений реальности, основана на возможностях. Классификация дает математикам возможность начать исследовать этот безграничный потенциал.
Что нового и заслуживающего внимания
Первая математическая классификация, с которой мы знакомимся в начальной школе, включает в себя разделение чисел на положительные и отрицательные или на числа, которые можно записать в виде дробей (рациональные числа), и числа, которые нельзя записать в виде иррациональных чисел. В недавнем выпуске журнала Quanta Эрика Кларрайх описывает, как может быть невероятно сложно доказать, что данное число иррационально, даже если математики подозревают, что это так. И есть множество других типов чисел, которые математики тоже любят изучать. В других областях математики классифицируют объекты на основе того, являются ли они в некотором смысле “эквивалентными”. В топологии две формы одинаковы и, следовательно, принадлежат к одному классу, если одну из них можно растянуть или втиснуть в другую, не ломая и не разрывая. Пончик — это то же самое, что кофейная чашка, но отличается от сферы. Но определить, являются ли более сложные (и многомерные) объекты такими же, может оказаться чрезвычайно сложно. Математики все еще пытаются выяснить, должны ли все формы в определенных измерениях быть эквивалентны сфере, например, или допустимы более экзотические формы. “После столетий согласованных усилий, — писал Кевин Хартнетт в этом кратком обзоре топологии, — математики даже близко не подошли к завершению”.
Аналогичным образом, классификация сыграла важную роль в теории узлов. Завяжите узел на куске бечевки, затем склейте концы бечевки — это математический узел. Узлы эквивалентны, если один из них можно запутать или распутать, не разрезая бечевку, чтобы он соответствовал другому. Эта обыденно звучащая задача имеет множество математических применений. В 2023 году пять математиков продвинулись в разработке ключевой гипотезы теории узлов, которая утверждала, что все узлы с определенным свойством (“срез”) должны также обладать другим свойством (“лента”), при этом доказательство исключало предполагаемый контрпример. (Кстати, я часто задавался вопросом, почему теоретики узлов настаивают на использовании существительных в качестве прилагательных.) Классификации также могут стать более метаязыковыми. Как специалисты-теоретики в области информатики, так и математики классифицируют задачи, связанные с классификацией , в зависимости от того, насколько они “сложны”. Все эти классификации превращают беспорядочную математическую бесконечность в доступный порядок. Это первый шаг к обузданию потока, который изливается из математического воображения.
Лондонский университет королевы Марии располагает онлайн-базой данных о различных конечных группах и их свойствах. Моя любимая группа с таким названием — “группа сложной простой лжи”. (Группа монстров, категория, в которую входит группа маленьких монстров, была слишком простым ответом). Я мог бы провести целый день, разглядывая узлы и пытаясь решить, одинаковые ли они. Атлас узлов, составленный Ким Моррисон из Австралийского национального университета и Дрором Барнатаном из Университета Торонто, представляет собой прекрасную подборку узлов (и того, как они появлялись в истории и культуре). Также ознакомьтесь с этим зоопарком узлов, где вы можете щелкнуть по каждому узлу, чтобы увидеть его в интерактивном 3D-режиме.
Математики не могут удержаться от того, чтобы не классифицировать и не переклассифицировать всю область математики как таковой. Американское математическое общество в последний раз делало это в 2020году. Или вы можете ознакомиться с более наглядной математической картой Quanta.
Фонд Саймонса: