Математики обнаруживают числа Фибоначчи, скрывающиеся в странных пространствах.

Четырнадцать лет назад математики Дуса Макдафф и Феликс Шленк наткнулись на скрытый геометрический сад, который только сейчас начинает цвести. Пара была заинтересована в определенной продолговатой форме, которую можно было сжимать и сворачивать очень специфическим образом и запихивать внутрь шара. Они задавались вопросом: какого размера должен быть мяч для определенной формы?

Когда их результаты начали выкристаллизовываться, сначала они не заметили появления поразительных закономерностей. Но коллега, который ознакомился с их работой, заметил знаменитые числа Фибоначчи — список, записи которого снова и снова появлялись в природе и на протяжении веков математики. Они тесно связаны, например, с возвышенным золотым сечением, которое изучалось в искусстве, архитектуре и природе со времен древних греков.

Числа Фибоначчи “всегда делают математиков счастливыми”, — сказала Тара Холм, математик из Корнеллского университета. Она добавила, что их появление в работах Макдаффа и Шленка было “некоторым признаком того, что там что-то есть”.

Их знаменательный результат был опубликован в 2012 году в журнале Annals of Mathematics, который считается ведущим журналом в этой области. Это показало существование лестничных конструкций с бесконечным количеством ступеней. Размер каждой ступени в этих “бесконечных лестницах” был соотношением чисел Фибоначчи.

По мере того как лестница поднималась, ступени становились все меньше и меньше, верхняя часть лестницы сминалась в соответствии с золотым сечением. Ни золотое сечение, ни числа Фибоначчи не имеют никакого очевидного отношения к проблеме подгонки формы внутри шара. Было странно обнаружить, что эти цифры скрываются в работах Макдаффа и Шленка.

Затем, в начале этого года, Макдафф обнаружил еще один ключ к разгадке этой тайны. Она и еще несколько человек обнаружили не просто бесконечно больше лестниц, но и сложные фрактальные структуры. Их результаты — это “не то, что я даже отдаленно ожидал увидеть естественным образом возникающим в такого рода проблемах”, — сказал Майкл Ашер, профессор Университета Джорджии.

Эта работа выявила скрытые закономерности в, казалось бы, несвязанных областях математики — надежный признак того, что происходит что-то важное.

Форма движения

Эти проблемы не имеют места в знакомом мире евклидовой геометрии, где объекты сохраняют свою форму. Вместо этого они действуют по странным правилам симплектической геометрии, где формы представляют физические системы. Например, рассмотрим простой маятник. В любой данный момент физическое состояние маятника определяется тем, где он находится и с какой скоростью движется. Если вы построите график всех возможностей для этих двух значений — местоположения маятника и скорости, — вы получите симплектическую форму, похожую на поверхность бесконечно длинного цилиндра.

Вы можете изменять симплектические формы, но только очень специфическими способами. Конечный результат должен отражать ту же систему. Единственное, что может измениться, — это то, как вы его измеряете. Эти правила гарантируют, что вы не будете вмешиваться в лежащую в их основе физику.

Макдафф и Шленк пытались выяснить, когда они смогут поместить симплектический эллипсоид — удлиненную каплю — внутри шара. Этот тип задач, известный как задача вложения, довольно прост в евклидовой геометрии, где формы вообще не изгибаются. Это также просто в других подполях геометрии, где фигуры могут изгибаться так сильно, как вам нравится, до тех пор, пока их объем не изменится.

Симплектическая геометрия более сложна. Здесь ответ зависит от “эксцентриситета” эллипсоида, числа, которое показывает, насколько он удлинен. Длинную, тонкую форму с высоким эксцентриситетом можно легко сложить в более компактную форму, подобную свернувшейся змее. Когда эксцентриситет невелик, все становится не так просто.

В статье Макдаффа и Шленка 2012 года был рассчитан радиус наименьшего шара, который мог бы соответствовать различным эллипсоидам. Их решение напоминало бесконечную лестницу, основанную на числах Фибоначчи — последовательности чисел, где следующее число всегда является суммой двух предыдущих.

После того, как Макдафф и Шленк обнародовали свои результаты, математики задались вопросом: что, если вы попытаетесь встроить свой эллипсоид во что-то другое, кроме шара, например, в четырехмерный куб? Появятся ли еще бесконечные лестницы?

Фрактальный сюрприз

Результаты поступали по мере того, как исследователи обнаруживали несколько бесконечных лестниц здесь, еще несколько там. Затем, в 2019 году, Ассоциация женщин-математиков организовала недельный семинар по симплектической геометрии. На этом мероприятии Холм и ее коллега Ана Рита Пирес собрали рабочую группу, в которую вошли Макдафф и Морган Вейлер, недавно окончившие аспирантуру Калифорнийского университета в Беркли. Они намеревались встроить эллипсоиды в форму, имеющую бесконечно много воплощений, что в конечном итоге позволило им создать бесконечное количество лестниц.

Чтобы визуализировать формы, которые изучала группа, помните, что симплектические формы представляют собой систему движущихся объектов. Поскольку физическое состояние объекта использует две величины — положение и скорость— симплектические формы всегда описываются четным числом переменных. Другими словами, они имеют четное измерение. Поскольку двумерная фигура представляет собой только один объект, движущийся по фиксированной траектории, фигуры, которые являются четырехмерными или более, являются наиболее интригующими для математиков.

Но четырехмерные формы невозможно визуализировать, что серьезно ограничивает инструментарий математиков. В качестве частичного решения проблемы исследователи иногда могут рисовать двумерные изображения, которые фиксируют по крайней мере некоторую информацию о форме. Согласно правилам создания этих 2D-изображений, четырехмерный шар превращается в прямоугольный треугольник.

Формы, которые проанализировала группа Холма и Пиреса, называются поверхностями Хирцебруха. Каждая поверхность Хирцебруха получается путем отрубания верхнего угла этого прямоугольного треугольника. Число в измеряет, сколько вы отрубили. Когда b равно 0, вы ничего не вырезали; когда оно равно 1, вы стерли почти весь треугольник.

Поначалу казалось, что усилия группы вряд ли принесут плоды. “Мы потратили неделю, работая над этим, и ничего не нашли”, — сказал Вейлер, который сейчас является постдоком в Корнелле. К началу 2020 года они все еще не добились большого прогресса. Макдафф вспомнил одно из предложений Холма относительно названия статьи, которую они напишут: “Не повезло с поиском лестниц”.

Но в конце концов группа нашла свою точку опоры, и в октябре 2020 года они опубликовали статью, в которой были раскопаны бесконечные лестницы для определенных значений b.

В марте этого года Макдафф, Вейлер и Ники Магилл — студентка Холма, которая начала работать с Макдаффом во время пандемии коронавируса, — опубликовали препринт, в котором они почти завершили проект анализа вложений эллипсоидов в поверхности Хирцебруха. “Это потрясающе”, — сказал Холм. “Это так красиво”.

Когда они это сделали, возник еще один сюрприз. Если вы посмотрите на все значения b, для которых появляется бесконечная лестница, вы получите еще одну фрактальную структуру — расположение точек с особенностями, которые бросают вызов здравому смыслу. Называемое множеством Кантора, оно имеет больше точек, чем рациональные числа, но каким—то образом точки множества Кантора более разбросаны.

“Они действительно создали эту прекрасную картину с симметриями лестницы, которую я все еще пытаюсь полностью усвоить”, — сказал Даниэль Кристофаро-Гардинер, математик из Университета Мэриленда.

Хотя новая работа дала больше бесконечных лестниц, чем любые предыдущие результаты, симплектические вложения и сопровождающие их лестницы остаются в основном загадкой, поскольку поверхности Хирцебруха составляют лишь крошечную часть возможных симплектических форм. “Я все еще чувствую, что мы немного в лесу, и мы еще не совсем поднялись до уровня облаков, где мы могли бы видеть всю картину”, — сказал Холм. “Это волнующий момент, потому что я думаю, что мы доберемся туда”.