Существуют ли математические способы доказать, что число Пи — иррациональное, не имеющее конца?
Первоначально определяемое как отношение длины окружности к ее диаметру, число «пи » (записывается греческой буквой π) встречается во всей математике, в том числе в областях, которые совершенно не связаны с окружностями, таких как химия, физические науки и медицина.
Число Пи принадлежит к огромной математической группе, называемой иррациональными числами, которые продолжаются вечно и не могут быть записаны в виде дробей. Ученые вычислили число Пи до 105 триллионов цифр , хотя большинство из нас больше знакомо с приближением 3,14. Но откуда мы знаем, что Пи — иррациональное число?
Рациональные числа, составляющие большинство чисел, которые мы используем в повседневной жизни (хотя и менее половины всех возможных чисел), можно записать в виде целого числа, деленного на другое. Число Пи с его сложной последовательностью десятичных знаков, на первый взгляд, определенно не относится к этой группе.
«Рациональность — это практическое свойство иметь доступ к числу в явном виде, т. е. без какого-либо приближения… то есть иметь возможность записать число с помощью конечного количества символов», — рассказал в интервью Live Science Вадим Зудилин , математик из Университета Радбауда в Нидерландах. Однако, на самом деле доказать, что вы не можете записать пи в виде дроби, — это удивительно запутанная проблема. У математиков нет универсального метода, чтобы показать, что конкретное число является иррациональным, поэтому они должны разрабатывать разные доказательства для каждого случая, объяснил Кит Конрад , математик из Университета Коннектикута. «Откуда вы знаете, что число не является дробью?» — сказал он. «Вы пытаетесь проверить отрицательное свойство».
Несмотря на эту трудность, за последние 300 лет математики установили различные доказательства иррациональности числа пи, используя методы из разных областей математики. Каждый из этих аргументов начинается с предположения, что число пи рационально, записанного в виде уравнения. Благодаря серии манипуляций и выводов о свойствах неизвестных значений в этом уравнении впоследствии становится ясно, что математика противоречит этому первоначальному утверждению, что приводит к выводу, что число пи должно быть иррациональным.
Конкретная математика, которая здесь задействована, часто невероятно сложна, обычно требуя университетского уровня понимания исчисления, тригонометрии и бесконечных рядов. Однако каждый подход опирается на эту центральную идею доказательства от противного.
« Существуют доказательства, использующие исчисление и тригонометрические функции », — сказал Конрад. «В некоторых из них π выделяется как первое положительное решение sin(x) = 0. Первое доказательство Ламберта в 1760-х годах использовало часть математики, называемую бесконечными цепными дробями — это своего рода бесконечно вложенная дробь». Однако, вместо того, чтобы напрямую доказать иррациональность числа pi, можно также подтвердить иррациональность, используя другое свойство числа. Число pi принадлежит к другой числовой группе, называемой трансцендентными числами, которые не являются алгебраическими и, что важно, не могут быть записаны как корень полиномиального уравнения. Поскольку каждое трансцендентное число иррационально, любое доказательство, показывающее, что число pi трансцендентно, также доказывает, что число pi иррационально.
«Используя исчисление с комплексными числами, можно доказать, что π трансцендентно», — сказал Конрад. «Доказательство использует очень известное уравнение, называемое тождеством Эйлера: e iπ +1 = 0». Хотя всеобщая важность числа π может вытекать из этой неосязаемой иррациональности, семи или восьми знаков после запятой обычно более чем достаточно для любых реальных приложений. Даже НАСА использует только 16 цифр числа π для своих расчетов.
«Мы аппроксимируем значение для практических целей, 3,1415926 — это уже много информации!» — сказал Зудилин. «Но, конечно, в математике это неудовлетворительно. Нас волнует природа чисел».
Викторина ко Дню числа Пи : Что вы знаете об этом иррациональном числе?