Поняв, что домашнее обучение ограничивало ее, подросток подала прошение о зачислении в аспирантуру Беркли, где в итоге опровергла гипотезу 40-летней давности.
Не то чтобы кто-то когда-либо говорил, что подростки, не окончившие среднюю школу, не смогут решить сложные математические задачи. Но шансы на такой результат казались бы невелики. Однако статья, опубликованная 10 февраля, Оставил математический мир попеременно ошеломлённым, восхищённым и готовым принять новый смелый талант. Автором книги была Ханна Кайро., которой тогда было всего 17 лет. Она разгадала 40-летнюю загадку о поведении функций, называемую гипотезой Мизохаты-Такеучи. «Мы все были просто в шоке. Не помню, чтобы когда-либо видел что-то подобное», — сказал Итамар Оливейра. из Бирмингемского университета, которая последние два года пыталась доказать истинность этой гипотезы. В своей работе Кайро показала, что она ложна. Результат противоречит привычным представлениям математиков о том, что могут и чего не могут делать функции. То же самое делает и сама Каиро, которая нашла свой путь к доказательству после многих лет домашнего обучения в изоляции и нетрадиционного пути в мире математики.
Мир без границ
Кайро выросла в Нассау, Багамские острова, куда её родители переехали, чтобы отец мог работать разработчиком программного обеспечения. Она и два её брата — один на три года старше, другой на восемь лет младше — обучались на дому. Кайро начала изучать математику с помощью онлайн-уроков Академии Хана и быстро освоила стандартную программу. К 11 годам она уже закончила курс математического анализа. Вскоре она изучила всё, что было доступно онлайн. Родители нашли пару профессоров математики, которые занимались с ней удалённо: сначала Мартина Магида из колледжа Уэллсли, затем Амира Азами из Университета Кларка. Но большую часть обучения она проходила самостоятельно, самостоятельно читая и усваивая учебники по математике для аспирантов, которые рекомендовали ей репетиторы. «В конце концов, — вспоминает Каиро, — Азами сказал что-то вроде: ему неловко получать деньги, потому что он чувствует, что на самом деле не учит меня. Потому что в основном я читала книгу и пыталась доказать теоремы».
Однако Кэйро посчитал домашнее обучение ограничивающим фактором. «В каком-то смысле, существовало это неизбежное однообразие. Что бы я ни делала, я оставалась в одном и том же месте и делала в основном одно и то же», — сказала она. «Я была очень одинока, и ничто из того, что я могла сделать, не могло это изменить. В некоторые дни я просыпалась и понимала, что просто стала старше». Математика стала для нее своего рода побегом, пространством, которое казалось огромным, когда повседневная жизнь таковой не была. «Математика была для меня новым миром, который я могла исследовать. Миром без ограничений, миром, к которому я могла получить доступ в любой момент, просто подумав о нём», — сказала она. «Так я росла, думая о математике как о мире идей, который я могу исследовать самостоятельно. Такой подход помог мне взглянуть на математику иначе, чем многим людям».
В 2021 году, во время пандемии COVID, мир Каир начал расширяться, в то время как для многих других он сужался. Из-за ограничений на поездки её семья застряла в доме бабушки и дедушки в Чикаго. Пока они были там, она присоединилась к Чикагскому математическому кружку, где учителя и ученики собираются вместе для решения сложных задач. Этот опыт побудил её в следующем году подать заявку на двухнедельную летнюю онлайн-программу, организованную Математическим кружком Беркли, который взрастил одни из самых талантливых математиков в мире. В своей заявке она указала набор предметов, которые она самостоятельно изучала, что в совокупности составляло эквивалент углубленного бакалавриата по математике. Ей было 14 лет.
Валери Плеш для журнала Quanta
«Ханна — это нечто большее, чем просто нечто», — сказала Звезделина Станкова., математик из Беркли и основательница математического кружка Беркли. «Каждый раз, когда она подаёт заявление на поступление в школу или на программу, она оказывается на несколько уровней выше». Однако этот разрозненный опыт так и не убедил Каиро в её исключительных математических способностях. Она тихая, открытая и скромная, и, похоже, искренне не уверена в том, как её способности соотносятся с чужими — отчасти потому, что годами единственным её ориентиром была она сама.
В 17 лет Ханна Кайро решила сложную математическую загадку
Поняв, что домашнее обучение ограничивало ее, подросток подала прошение о зачислении в аспирантуру Беркли, где в итоге опровергла гипотезу 40-летней давности.
Введение
Не то чтобы кто-то когда-либо говорил, что подростки, не окончившие среднюю школу, не смогут решить сложные математические задачи. Но шансы на такой результат казались бы невелики.
Однако статья, опубликованная 10 февраля,(открывает новую вкладку)Оставил математический мир попеременно ошеломлённым, восхищённым и готовым принять новый смелый талант. Автором книги была Ханна Кайро.(открывает новую вкладку), которой тогда было всего 17 лет. Она разгадала 40-летнюю загадку о поведении функций, называемую гипотезой Мизохаты-Такеучи.
«Мы все были просто в шоке. Не помню, чтобы когда-либо видел что-то подобное», — сказал Итамар Оливейра.(открывает новую вкладку)из Бирмингемского университета, которая последние два года пыталась доказать истинность этой гипотезы. В своей работе Кайро показала, что она ложна. Результат противоречит привычным представлениям математиков о том, что могут и чего не могут делать функции.
То же самое делает и сама Каиро, которая нашла свой путь к доказательству после многих лет домашнего обучения в изоляции и нетрадиционного пути в мире математики.
Мир без границ
Кайро выросла в Нассау, Багамские острова, куда её родители переехали, чтобы отец мог работать разработчиком программного обеспечения. Она и два её брата — один на три года старше, другой на восемь лет младше — обучались на дому. Кайро начала изучать математику с помощью онлайн-уроков Академии Хана и быстро освоила стандартную программу. К 11 годам она уже закончила курс математического анализа.
Вскоре она изучила всё, что было доступно онлайн. Родители нашли пару профессоров математики, которые занимались с ней удалённо: сначала Мартина Магида из колледжа Уэллсли, затем Амира Азами из Университета Кларка. Но большую часть обучения она проходила самостоятельно, самостоятельно читая и усваивая учебники по математике для аспирантов, которые рекомендовали ей репетиторы. «В конце концов, — вспоминает Каиро, — Азами сказал что-то вроде: ему неловко получать деньги, потому что он чувствует, что на самом деле не учит меня. Потому что в основном я читала книгу и пыталась доказать теоремы».
Однако Кэйро посчитал домашнее обучение ограничивающим фактором.
«В каком-то смысле, существовало это неизбежное однообразие. Что бы я ни делала, я оставалась в одном и том же месте и делала в основном одно и то же», — сказала она. «Я была очень одинока, и ничто из того, что я могла сделать, не могло это изменить. В некоторые дни я просыпалась и понимала, что просто стала старше».
Математика стала для нее своего рода побегом, пространством, которое казалось огромным, когда повседневная жизнь таковой не была.
«Математика была для меня новым миром, который я могла исследовать. Миром без ограничений, миром, к которому я могла получить доступ в любой момент, просто подумав о нём», — сказала она. «Так я росла, думая о математике как о мире идей, который я могу исследовать самостоятельно. Такой подход помог мне взглянуть на математику иначе, чем многим людям».
В 2021 году, во время пандемии COVID, мир Каир начал расширяться, в то время как для многих других он сужался. Из-за ограничений на поездки её семья застряла в доме бабушки и дедушки в Чикаго. Пока они были там, она присоединилась к Чикагскому математическому кружку, где учителя и ученики собираются вместе для решения сложных задач.
Этот опыт побудил её в следующем году подать заявку на двухнедельную летнюю онлайн-программу, организованную Математическим кружком Беркли, который взрастил одни из самых талантливых математиков в мире. В своей заявке она указала набор предметов, которые она самостоятельно изучала, что в совокупности составляло эквивалент углубленного бакалавриата по математике. Ей было 14 лет.
«Ханна — это нечто большее, чем просто нечто», — сказала Звезделина Станкова.(открывает новую вкладку), математик из Беркли и основательница математического кружка Беркли. «Каждый раз, когда она подаёт заявление на поступление в школу или на программу, она оказывается на несколько уровней выше».
Однако этот разрозненный опыт так и не убедил Каиро в её исключительных математических способностях. Она тихая, открытая и скромная, и, похоже, искренне не уверена в том, как её способности соотносятся с чужими — отчасти потому, что годами единственным её ориентиром была она сама.
«В детстве я толком не знала, талантлива ли я», — сказала она. «Мне нравится играть на пианино, и окружающие говорили, что у меня большой талант к математике и игре на пианино. И оглядываясь назад, теперь, когда я смотрю на это, я понимаю, что, конечно, моё владение пианино было выше среднего. Но оно ни в коем случае не было исключительным. Хотя, с другой стороны, похоже, что в математике я, типа, ни о чём».
Найти свое место
В 2023 году, после второго лета в математическом кружке Беркли, Каиро задумалась, что делать дальше. Она уже подала документы в несколько университетов, и, хотя большинство из них её отклонили (она ещё не окончила среднюю школу), её приняли в Калифорнийский университет в Дэвисе. Стоит ли ей начать обучение в бакалавриате на три года раньше? Или лучше продолжить обучение в других учебных заведениях?
Станкова посоветовала ей вместо этого принять участие в программе параллельного обучения в Беркли, где она могла бы посещать курсы по математике на уровне магистратуры у ведущих исследователей в этой области.
Кейро последовала этому совету. Осенью 2023 года её семья переехала в Дэвис, в 60 милях к северо-востоку от Беркли. Там её старший брат поступил на первый курс Калифорнийского университета в Дэвисе, и родители разрешили ей ездить в Беркли по вторникам и четвергам. К весне она уже ходила в школу пять дней в неделю и посещала ещё несколько занятий. Она вспоминает это время, когда почувствовала, что полна возможностей. «Я начала заводить друзей, и мне было хорошо», — сказала она. После окончания весеннего семестра её семья переехала из Дэвиса в Беркли — туда решил перевестись её брат, — и Кейро наконец смогла обосноваться. Тем не менее, это была адаптация. «У меня было мало социального опыта, поэтому мне всё равно пришлось учиться взаимодействовать с другими людьми», — сказала она.
Приближался 2024–2025 учебный год. Каиро размышляла над тем, какие курсы ей выбрать. Один курс особенно привлёк её внимание — аспирантский курс по теории ограничений Фурье, разделу гармонического анализа. «Это был один из самых продвинутых курсов по анализу, предлагаемых в том семестре, поэтому я решила: «Пойду-ка я его изучу», — сказала она.
Лин Лин
Преподавателем курса был Жуйсян Чжан, талантливый математик, чей путь в эту область пошел по более традиционной траектории: золотая медаль на Международной математической олимпиаде 2008 года, престижном соревновании для старшеклассников; докторская степень Принстонского университета; постдокторантура в Институте перспективных исследований; постоянная должность в Беркли, одном из ведущих математических факультетов в мире.
Каиро написал Чжану письмо с просьбой о зачислении. «Ханна была очень сосредоточена и, казалось, с энтузиазмом относилась к теме», — сказал он. «Одного этого настроя мне было достаточно, поэтому я просто дал ей разрешение». Через несколько недель, работая над решением одной задачи, она столкнулась с проблемой, о которой не могла перестать думать.
Дополнительный кредит
Задача представляла собой упрощённую версию гипотезы Мидзёхаты-Такеучи. Чжан включил её в одно из своих домашних заданий в качестве разминки, надеясь побудить студентов практиковать продвинутые методы в углублённой области математики. Задание также включало необязательное расширение, предлагая им подумать, можно ли найти доказательство, найденное для упрощённого случая, распространить на более сложные формулировки задачи. Каиро завершила решение задачи и приняла приглашение Чжан продолжить размышления. Ей казалось естественным следовать за идеей до конца. «Зачем мне останавливаться?» — спросила она.
Гипотеза Мизохаты-Такеучи представляет собой проблему в гармоническом анализе — области, изучающей, как функции собираются из волнообразных компонентов.
Любую заданную функцию можно представить в виде суммы более простых волнообразных составляющих, называемых синусоидами. Каждая из этих синусоид, в свою очередь, имеет свою частоту. Математики часто стремятся понять природу функций, которые могут быть построены только из синусоид с определёнными частотами. В этих случаях единственными допустимыми частотами являются те, которые удовлетворяют уравнениям, описывающим определённые поверхности, например, сферу. Это связано с тем, что функции, определяющие многие физические волны, такие как свет, звук и квантовые частицы, ограничены этими типами частот.
Гипотеза Мизохаты-Такеучи рассматривает функции, построенные из волн, частоты которых лежат на такой поверхности. Она утверждает, что энергия функции — мера её размера — может быть распределена и сконцентрирована только в определённых структурах. Это как будто вы играете музыку в комнате странной формы. Иногда музыка может отдаваться эхом и усиливаться, становясь очень громкой. Но это происходит только в определённых местах. За прошедшие десятилетия математики добились лишь ограниченного прогресса в изучении нескольких частных случаев гипотезы Мидзёхаты-Такэути. Но общая проблема оставалась открытой. Казалось, ни один из стандартных методов не мог её решить. Эта неуязвимость заставила некоторых математиков заподозрить ложность гипотезы; другие же считали, что её элегантность повышает её вероятность.
«Иногда по утрам я просыпался с мыслью, что, поскольку это так просто и элегантно сформулировано, и это так широко, в конечном счёте это должно быть правдой», — сказал Тони Карбери, математик из Эдинбургского университета, работавший над этой проблемой десятилетиями. «Иногда по утрам я просыпался и говорил… это не может быть правдой в каком-либо упрощенном смысле».
Математики оказались в тупике.
Превышение лимитов
На пути к доказательству любой сложной задачи возникает множество сомнений. Математики сомневаются в своих подходах, сомневаются в своей интуиции, сомневаются в том, что идея, которой они следуют — столь многообещающая в данный момент — действительно окажется жизнеспособной. В случае Каиро эти сомнения усилились. Она была новичком в этой области, и её первые попытки доказать полную гипотезу были неуверенными и неполными. Она сомневалась, двигается ли она в правильном направлении. Чжан тоже.
«Я пришла в приёмную и спросила его: „Эти идеи работают?“ Оказалось, что нет, потому что они глупые», — сказала она. «Началась такая перепалка. Я приходила в приёмную с новыми идеями и спрашивала, работают ли они. А он отвечал: „Нет“».
Кейро продолжала читать и думать. В конце концов, она нашла способ построить странную, сложную функцию из волн, все частоты которых лежат на искривлённой поверхности — именно такой поверхности, которая требовалась для гипотезы. Обычно при сложении таких волн они интерферируют, нейтрализуя друг друга в одних местах и усиливая в других. Но Каиро показала, что в её функции они не компенсировались, как ожидалось. Вместо этого их интерференция создавала неравномерные узоры, из-за чего энергия функции распределялась по одним областям и концентрировалась в других фрактально, что запрещено гипотезой Мизохаты-Такеучи. Она обнаружила, что смотрит на математическую конструкцию, которая, по многим оценкам, не должна существовать. Поначалу это её насторожило. «Со мной такое часто случается», — сказала она. «Я нахожу что-то похожее на доказательство и думаю, что у меня есть доказательство, но [потом] я на самом деле ошибаюсь». Затем произошло два события. Во-первых, она поняла, что может заменить свою сложную конструкцию гораздо более простой и добиться того же результата.
Во-вторых, она убедила себя и Чжана, что результат был правильным. «Работа Кайро — отличный пример того, как естественные и элегантные предположения могут быть ошибочными, и мы даже не предполагали этого», — сказал Оливейра. «Но чтобы увидеть это, нам нужно взглянуть на вещи под правильным углом».
Новый ландшафт
Доказательство и его неожиданный автор взбудоражили математическое сообщество с тех пор, как Каиро опубликовал его в феврале. «Я был просто в восторге. Это моя любимая задача почти 40 лет, и я был совершенно поражён», — сказал Карбери. «Когда я узнал, что [Каиро] гораздо моложе, чем я думал, я был ещё больше впечатлён. Элегантность, с которой написана эта работа, просто поразительна».
Математики с нетерпением ждут, как работа Каира вдохновит на новые исследования. «Я уверен, что отныне, всякий раз, когда мы столкнёмся с подобной задачей, мы постараемся проверить её с помощью построений, подобных тем, что использует Каир», — сказал Оливейра.
Ему и другим специалистам по гармоническому анализу также придётся считаться с изменившимся ландшафтом. В гармоническом анализе существует целый ряд вопросов о том, как концентрируется энергия волны. Если бы гипотеза, известная как гипотеза Штейна, была верна, она бы укрепила связи между некоторыми из важнейших вопросов в этом более широком комплексе. Однако работа Каиро показывает, что гипотеза Штейна ложна. Она разрушает одну из самых многообещающих связей, которую математики надеялись установить между различными разделами гармонического анализа.
Математический мир тоже приспосабливается к самой Каиро. Завершив доказательство, она решила сразу поступить в аспирантуру, пропустив колледж (и получение аттестата о среднем образовании). По её мнению, она уже жила жизнью аспирантки. Каиро подала заявки на 10 программ магистратуры. В шести её отклонили из-за отсутствия высшего образования. В двух её приняли, но затем вышестоящие руководители в администрации этих университетов отменили эти решения. Только Мэрилендский университет и Университет Джонса Хопкинса были готовы принять её сразу в докторантуру. Она начнёт обучение в Мэрилендском университете осенью. По окончании обучения это будет ее первая степень ученого.
источник:
- https://www.quantamagazine.org/
- https://www.quantamagazine.org/at-17-hannah-cairo-solved-a-major-math-mystery-20250801/