Сосредоточенность, целеустремленность и проницательность привели к доказательству, которое случается раз в столетие. Хон Ван стала всего лишь третьей женщиной, получившей Филдсовскую медаль.
Введение
Можно представить, что для математика доказательство монументальной теоремы — это ни с чем не сравнимое удовольствие. Но для Хонг Ван это было не так. В феврале 2025 года Ван и ее коллега Джошуа Зал представили 127-страничное доказательство давней гипотезы на стыке нескольких разделов математики. Дуэт проверял свою работу в течение нескольких месяцев и отправлял ее на рецензию избранным коллегам, прежде чем наконец набрался смелости опубликовать ее. Ван беспокоилась не столько о том, что аргументы ошибочны, сколько о том, что они могут быть недостаточно четко сформулированы и поэтому непонятны. Ошибок не нашли, логика доказательства была проанализирована и доработана, и все убедились в его обоснованности. Ван и Зал доказали трехмерную гипотезу Какеи.
Это доказательство принесло Ван, уроженке китайского города Гуйлинь, целый ряд наград: премию Салема, премию Островского и Золотую медаль Международного конгресса китайских математиков в области математики в 2025 году; медаль Антонио Амбросетти, премию Садоски, премию Clay Research Award и премию «Новые горизонты в математике» в первой половине 2026 года; и, наконец, Филдсовскую премию 2026 года, которая считается высшей наградой в математике и присуждается исключительно выдающимся математикам в возрасте до 40 лет. 35-летняя Ван, профессор математики в Нью-Йоркском университете и Институте перспективных научных исследований (IHES) во Франции, стала лишь третьей женщиной-лауреатом за 90-летнюю историю Филдсовской премии. Из-за повышенного внимания к ней она стала чаще получать приглашения выступить, ездить в поездки и давать интервью, от которых ей сложно отказываться. Это отнимает время, которое она могла бы потратить на то, чтобы понять, как долго могут соприкасаться тонкие трубки, указывающие в разные стороны.
В этом и заключается суть «задач типа Какеи», которыми занимается Ван. Это семейство математических вопросов и гипотез, лежащих в основе диаграммы Венна, объединяющей гармонический анализ (изучение того, как сигналы распадаются на составляющие частоты), геометрическую теорию меры (связанную с формами и размерами негладких объектов) и уравнения в частных производных (которые описывают системы, изменяющиеся несколькими способами одновременно), а также их связи с теорией чисел, комбинаторикой и другими областями. «Все эти связи — причина, по которой этот район считается таким важным и почему Хонга так почитают», — сказал Пабло Шмеркин, математик из Университета Британской Колумбии.
Она всегда очень добра и признает, что некоторые идеи пришли из моих работ, но она смогла применить их таким фантастическим образом, как я и представить себе не мог. Пабло Шмеркин
Когда Ван не путешествует, она работает с усердием и самоотдачей монахини или профессионального спортсмена. «Она без ума от математики, — говорит Шукун Ву из Университета Индианы, с которым она сотрудничает. — Она определенно одна из самых преданных своему делу людей, которых я встречал». Она отказывает себе в таких отнимающих много времени удовольствиях, как чтение книг или содержание собаки, хотя находит время для общения с друзьями, занятий йогой и утренних прогулок, чтобы посмотреть на собак в парке Вашингтон-сквер. Все это помогает ей справляться со стрессом и чувством неуверенности в себе, которые могут сопровождать ее математические исследования. Желание быть уверенной в своих знаниях и способностях, похоже, определило всю жизнь Ван. Например, именно это чувство привело ее в математику: для нее это наименее сомнительная область. И хотя она никогда не тратила время на то, чтобы отпраздновать свое эпохальное доказательство, и не испытывала от этого прилива гордости, по крайней мере теперь Ван может с полной уверенностью сказать, что трубки, направленные во все стороны в трехмерном пространстве, не могут сильно перекрываться.
Много Замечательных Вещей
Поначалу сдержанная, но быстро расслабляющаяся, Ван носит панто-очки из черепахового панциря и кольца на обоих указательных пальцах, которые иногда мелькают в кадре во время видеозвонков: серебряное на левом и золотое на правом. Она объяснила, что на Западном побережье, где она провела несколько месяцев, навещая коллег и друзей, ее жизнь была гораздо более беззаботной. В 1990-х годах в Гуйлине она приходила домой из школы и читала (греческие мифы, «Гарри Поттера», « Властелина колец»), смотрела телевизор, играла в настольный теннис или бадминтон. Родители не давили на нее в плане учебы, хотя оба были школьными учителями. Все трое любили вечерние прогулки по Гуйлину, который часто называют самым красивым городом Китая, расположенным среди крутых изумрудных холмов, через которые протекает река.
Математика стала одним из ее увлечений наряду с другими. Каждый раз, когда она получала новый учебник, она выполняла все упражнения до начала семестра. Она покупала в книжном магазине другие учебники по математике и решала все задачи из них. Она вспоминает одну головоломку в конце главы, в которой нужно было ответить на вопрос: как посадить семь деревьев, чтобы получилось как можно больше рядов по три дерева? Как и задачи типа «Какея», которые она будет изучать позже, эта головоломка связана с «геометрией инцидентности», то есть с тем, как объекты пересекаются — в данном случае линии (ряды деревьев) и точки (деревья). Ван быстро сообразила, что нужно посадить деревья в форме равностороннего треугольника: по дереву в каждом углу, по одному в середине каждой стороны и седьмое дерево — в центре. Таким образом получится шесть рядов деревьев: три по бокам и три посередине. Она нашла ответ быстрее своего отца, учителя математики. Ей было 6 лет. Ван начала ценить математику за ее постоянство. Историю постоянно пересматривают; изучение английского языка разочаровывало, потому что в нем, казалось, было столько же исключений, сколько и правил. Только теоремы казались надежными. «Никто не может прийти и сказать: «О, вообще-то это неправда», — сказала она.
Я отправил ей письмо и написал: «Вау». Джонатан Хикман
Оба родителя хотели, чтобы она жила как можно более нормальной жизнью, вспоминает Ванг. Она просто хотела учиться как можно больше, поэтому пропустила пару классов. Ближе к концу средней школы ее успеваемость стала иметь значение для поступления в хорошую старшую школу в Гуйлине. Ван хотела изучать математику в Пекинском университете в Пекине, одном из самых престижных университетов Китая. По ее словам, в 2007 году Пекинский университет зарезервировал одно место на математическом факультете для студентки из ее провинции, и поступление осуществлялось на основании результатов стандартизированного теста. Она набрала не самый высокий балл. Но этого было достаточно, чтобы поступить на факультет наук о Земле, и она надеялась перевестись на математический факультет. Профессор геофизики поддерживал ее, подчеркивая важность математики для науки, например в том, что касается использования сейсмических волн для составления карты недр Земли (математика, которая, по сути, связана с проблемой Какеи, хотя в то время она об этом не знала). Она усердно работала, и в конце концов ей разрешили сменить специализацию. Она вспомнила, как ее отец вскользь заметил, что анализ — раздел математики, изучающий изменяющиеся величины, пределы, меры и приближения, — намного проще алгебры с ее символическими уравнениями и точными решениями. Ван взбунтовалась и сосредоточилась на алгебре.
У нее не было высших оценок, и она сомневалась, что поступит в аспирантуру. Затем представители Политехнической школы под Парижем, одной из самых престижных и избирательных высших школ Франции, провели в Пекине экзамены на программу постбакалавриата. В 2011 году она переехала во Францию. Все занятия проходили на французском, на котором она не говорила. К счастью, она уже многое знала по математике из курса первого семестра. Она обедала со своими однокурсниками, которые говорили по-французски, тихо слушала, вежливо просила разъяснений и постепенно стала лучше понимать. Она посещала занятия по математическому анализу и обнаружила, что он дается ей легче, чем алгебра. Она хорошо успевала по всем предметам, но считала, что недостаточно хороша для математических исследований. На один семестр она переключилась на архитектуру и прошла стажировку в парижской фирме. «У меня не было сильного стресса, — сказала она. — Но я не знала, к чему стремлюсь». Поэтому она вернулась к математике. «Я решила не переживать о том, получится у меня или нет, а просто работать над тем, чтобы лучше понимать», — сказала она.
Странные множества
В 2013 году, во время исследовательской стажировки в Массачусетском технологическом институте, Ван посетила семинар аналитика по имени Ларри Гут. Гут вместе с математиком Нетсом Кацем из Университета Райса обсуждал свое недавнее доказательство проблемы Эрдеша о различных расстояниях, которая звучит так: для любого конечного множества точек на плоскости, сколько существует расстояний между парами точек? Гут объяснил проблему и свое решение настолько ясно, что Ван почувствовала, что может хорошо понять часть доказательства, и это ее вдохновило. Она узнала, что эта задача тесно связана со многими другими проблемами подобного характера, в основе которых лежит геометрия инцидентности. В следующем году ее приняли в докторантуру Массачусетского технологического института, и она выбрала Гута своим научным руководителем.
Позже ее специализацией стали проблемы типа Какеи. Самая известная проблема в этом семействе и та, от которой зависят большинство других, — это гипотеза о множестве Какеи. Это современная версия вопроса, заданного в 1917 году математиком из Университета Тохоку Соити Какэя. Он задался вопросом о наименьшей площади, которую можно очертить иглой, вращая ее в любом направлении на плоскости. Если просто вращать иглу вокруг ее середины, получится очертить круг. Какэя понял, что, смещая иглу при вращении, как будто выполняя разворот на три точки в автомобиле, можно не выходить за пределы половины площади круга и очертить фигуру, называемую дельтоидом. Пару лет спустя российский математик, а впоследствии сотрудник Кембриджского университета Абрам Безикович показал, что можно добиться гораздо большего. Можно направить стрелку во все стороны, не покрывая при этом никакой площади — по крайней мере, в абстрактной версии задачи. В этом случае у нас нет стрелки, а есть бесконечное множество отрезков, которые указывают во все стороны на плоскости — по одному на каждый возможный вариант направления стрелки. Такое множество называется множеством Какеи. Не меняя направления ни одного отрезка, можно перемещать их так, чтобы они занимали все меньшую и меньшую площадь. Бесикович обнаружил, что эти отрезки можно уместить на площади, равной нулю. Как это возможно? Равносторонний треугольник — это еще одна фигура, похожая на дельтовид, но с большей площадью, которая может содержать множество Какеи. Представьте, что вы разрезаете этот треугольник ровно посередине и сдвигаете (не поворачивая) одну из половинок так, чтобы она максимально плотно прилегала к другой.
Теперь разрежьте каждую половину исходного треугольника пополам и снова сдвиньте половинки, чтобы они максимально перекрывали друг друга. Вы снова сжали отрезки до меньшей площади.
Повторяйте эту процедуру до бесконечности, перемещая отрезки взад и вперед с помощью геометрической операции, называемой соединением Пала, а затем поворачивайте треугольник, чтобы можно было повторить процедуру из каждого угла. Сложите полученные результаты, и вы учтете отрезки, направленные во все стороны, сведенные в нулевую площадь.
Бесикович показал, что это работает и в пространствах большей размерности. Множества Какеи, состоящие из отрезков, направленных во все стороны в трехмерном пространстве, могут иметь нулевой объем. Но несмотря на отсутствие площади или объема, эти странные, остроконечные множества все же занимают пространство. Отрезки в множестве Какеи не сжаты в одну одномерную линию, они по-прежнему направлены во все стороны. Вопрос в том, сколько пространства занимает множество Какеи? С математической точки зрения этот вопрос можно сформулировать так: в скольких измерениях он существует? Чтобы определить размерность объекта, можно представить, что он покрыт крошечными коробочками одинакового размера, и подсчитать, сколько коробочек для этого потребуется. Количество зависит от размера коробочек, но размерность объекта определяется тем, как меняется это количество при изменении размера коробочки. Если вы хотите покрыть одномерный объект, например отрезок прямой, количество коробочек будет пропорционально 1/r, где r — ширина коробочки. Если вы хотите покрыть 2D-объект, вам понадобится количество материала, пропорциональное 1/r2. Для 3D-объекта — 1/r3 и так далее. Показатель степени — это размерность объекта. Однако этот показатель не всегда равен кажущемуся числу измерений пространства, в котором существует объект. Возьмем, к примеру, фракталы или объекты, структура которых становится все более детализированной по мере приближения, например кривая Коха или снежинка Коха. В этих случаях чем меньше квадраты, тем больше у них возможностей выстроиться в линию, поэтому они масштабируются по-разному. Показатель степени r в законе масштабирования представляет собой дробь, которая показывает, сколько новой структуры появляется при увеличении. Фракталы, такие как кривая Коха или снежинка с ее бесконечно детализированным краем, находятся где-то между целыми числами и измерениями.
Суть гипотезы о множестве Какеи заключается в том, занимают ли эти множества все измерения пространства, в котором они направлены во все стороны: то есть является ли множество Какеи, состоящее из отрезков, направленных во все стороны на плоскости, двумерным, является ли множество Какеи, направленное во все стороны в трехмерном пространстве, трехмерным и так далее. Таким образом, эти множества ведут себя как твердые объекты, хотя, как показал Бесикович, они не могут иметь ни площади, ни объема. Неизвестно, кто и когда впервые выдвинул эту гипотезу, но она существовала уже в 1971 году, когда британский математик Рой Дэвис доказал, что она верна в двумерном случае. Доказательство того, что она верна и в трехмерном случае, стало известно как гипотеза о трехмерном множестве Какеи. Если бы это утверждение оказалось неверным, это означало бы, что отрезки множества Какеи, несмотря на то, что они направлены во все стороны, могут быть настолько хитро переплетены, что ведут себя скорее как фракталы, чем как твердые объекты, то есть имеют меньшую размерность, чем трехмерное пространство, в котором они находятся. Поскольку множество Какеи состоит из отрезков прямых, математики представили себе, что коробки, используемые для измерения размерности, сливаются в длинные тонкие трубки. Вопрос в том, как количество трубок, необходимых для покрытия множества, соотносится с толщиной этих трубок. Согласно гипотезе о множестве Какеи, это соотношение такое же, как и для любого другого трехмерного объекта. Если бы вместо этого наборы Какеи могли занимать лишь часть полной размерности пространства, то на меньших масштабах проявлялась бы большая детализация — больше отрезков, сгруппированных внутри пространств.
Интерес к трехмерной гипотезе Какеи возрос в 1970-х годах, когда математик из Принстона Чарльз Фефферман установил, что она имеет тесную связь с мощным явлением, называемым преобразованием Фурье, при котором любой сигнал или функция могут быть разложены на синусоидальные волны разной частоты и направленности. Главный нерешенный вопрос в анализе Фурье (также называемом гармоническим анализом) заключается в том, что происходит, когда все волны имеют одинаковую длину волны, но ориентированы в разных направлениях. Что происходит с суммарным сигналом в месте их взаимодействия? Гипотеза об ограничении Фурье гласит, что в таких случаях суммарный сигнал должен быть очень рассредоточенным и диффузным. Поскольку все составляющие частоты движутся в немного разных направлениях, они не могут накладываться друг на друга и интерферировать конструктивно, образуя высококонцентрированную волну или сигнал. Это соображение имеет значение для обработки сигналов и визуализации.
«Можно представить, что каждая волна распространяется по одной из длинных тонких трубок», — сказал Ван. Будут ли они сильно перекрываться, концентрируя сигнал, или нет?
Затруднительная ситуация
Через пару лет после прихода в Массачусетский технологический институт Ван вместе с Гутом и другими исследователями начала работать над родственными задачами. За год они решили частный случай задачи о расстоянии Фальконера — более сложный вариант задачи, которую Гут решил вместе с Кацем. Ван также продвинулся в решении задачи об ограничении Фурье, представив ее в терминах геометрии инцидентности. «Довольно редко кому-то удается сказать что-то новое об этой проблеме, потому что она очень сложная, поэтому было удивительно, что это удалось аспирантке [сделать это]», — сказал Джонатан Хикман(открывается в новой вкладке), математик из Эдинбургского университета. «Я отправил ей электронное письмо и сказал: «Вау».»
Шмеркин из Университета Британской Колумбии, который также работал над задачей о расстоянии Фальконера, заметил талант Ван, когда гостил у Гута в Массачусетском технологическом институте. Она показалась ему творческой личностью, способной впитывать новые методы. Казалось, она глубоко понимает геометрию инцидентности, хотя начала работать в этой области совсем недавно. В этой области исследований уже появилось множество новых инструментов, и Ван вскоре освоила еще несколько из них из теории геометрических мер, которую она изучала во время совместной работы со Шмеркиным над задачей о расстоянии Фальконера. Ее очень вдохновил подход Шмеркина к «многомасштабному анализу» — способ сравнения того, что происходит на разных уровнях, для выявления противоречий. «Она всегда очень любезна и признает, что некоторые идеи пришли из моих работ, но она смогла применить их таким фантастическим образом, каким я и представить себе не мог», — сказал Шмеркин.
Репутация Ван укрепилась в 2019 году, когда она, Гут и Жуйсян Чжан из Калифорнийского университета в Беркли доказали двумерный случай гипотезы локального сглаживания, одного из «Святых Граалей» гармонического анализа, согласно которому решение волнового уравнения не может концентрировать энергию в небольшой области в течение длительного времени. В том же году, получив докторскую степень, она переехала в Принстон, штат Нью-Джерси, чтобы пройти постдокторантуру в Институте перспективных исследований. Она переживала, что без Гута у нее ничего не получится, но постепенно начала сотрудничать с другими учеными и продвинулась в решении других задач типа Какеи. На нее обратили внимание в комитетах по найму: в 2021 году она получила должность преподавателя в Калифорнийском университете в Лос-Анджелесе, а в 2023 году стала доцентом в Нью-Йоркском университете. Через месяц после переезда она опубликовала еще один сенсационный результат: вместе с Кевином Реном она доказала двумерную гипотезу Фюрстенберга, которая позволяет оценить размерность множества точек на плоскости, содержащего подмножество прямых, направленных во все стороны.
Она без ума от математики. Она определенно одна из самых целеустремленных людей, которых я встречал. Шукун Ву
Несмотря на эти успехи, Ван по-прежнему чувствовала себя аутсайдером. «Каждый раз казалось, что мне просто повезло», — говорила она о своих доказательствах. Именно в Институте перспективных исследований во время пандемии Ван решила обратить внимание на гипотезу о трехмерном множестве Какеи. На протяжении десятилетий эта задача не давала покоя многим исследователям; даже были объявлены доказательства, которые впоследствии оказались ошибочными. «Я так и не решил гипотезу Какеи, но четыре или пять раз мне казалось, что я нашел решение», — сказал Гут. Каждый раз он обнаруживал ошибку до того, как публиковал свои результаты.
В 2014 году Ван прочитала пост в блоге математика из Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе Теренса Тао, в котором была изложена стратегия доказательства, разработанная Тао и Кацем, но так и не реализованная. Этот подход показался ей многообещающим, поэтому она связалась с Джошуа Залом, который тогда работал в Университете Британской Колумбии и был математиком, изучавшим аспекты проблемы Какеи в своей диссертации. Они решили проверить то, что описали Тао и Кац. Стратегия, для реализации которой потребовался огромный арсенал методов, заключалась в том, чтобы показать, что любой гипотетический контрпример к гипотезе — потенциальный способ сжатия отрезков, направленных во все стороны в трехмерном пространстве, до менее чем трехмерного пространства — должен иметь настолько жесткую и эффективную структуру, что она будет противоречить теоремам, описывающим взаимосвязь между сложением и умножением. Этот общий подход, когда вы приводите контрпример, опровергающий какую-то гипотезу, а затем запутываете его так, что в итоге приходишь к выводу, что такого контрпримера не может быть (и гипотеза остается единственным вариантом), является распространенной стратегией доказательства.
В данном случае Ван и Зал сосредоточились на так называемых «липких» множествах Какеи, поскольку отрезки в этих множествах со схожей ориентацией имеют тенденцию «слипаться» в пространстве. Эти отрезки сгруппированы достаточно плотно, чтобы их могли эффективно удерживать более толстые трубки, поэтому множество в целом потенциально может демонстрировать фрактальное масштабирование, а не вести себя как трехмерный объект. Сначала они доказали, что «липкие» множества не являются контрпримерами: в конце концов, они трехмерны. Но впереди было еще много работы. «Людям было неясно, действительно ли липкий случай является главным врагом», — говорит Зал, который выглядит и ведет себя как настоящий летчик-истребитель. Поэтому дальше они предположили существование более общего контрпримера: множества Какеи с размерностью меньше трех (скажем, 3 − x). Проанализировав, сколько трубок пересекают некоторую сферическую область среднего размера в наборе, они смогли показать, что она должна быть либо «липкой» (то есть трехмерной), либо «не липкой», что, как они могли показать, означает, что она должна быть более многомерной, чем предполагалось. «В таком случае мы в выигрыше», — сказал Ван. Они могли повторять этот аргумент для все меньших и меньших значений x, пока в конце концов не пришли к выводу, что любой набор Какеи должен быть трехмерным.
В начале 2024 года, спустя четыре года после того, как они начали свои изыскания, сложная индуктивная логика доказательства, казалось, сработала, хотя ни Ван, ни Зал не позволяли себе делать такой вывод. «Это сложная задача, и кто я такая, чтобы ее решать?» — сказала Ван. «У вас есть сомнения. Но в то же время ход рассуждений кажется естественным». Она могла представить себе эту логику: трубки одного масштаба превращаются в планки большего масштаба, а затем расширяются в плиты, заполняющие весь объем. То, как фигуры перетекают одна в другую, показало ей, что наборы Какеи неизбежно являются трехмерными. Но Ван и Залу потребовался еще год, чтобы публично представить доказательство.
Нахождение Баланса
По мере того как доказательство рассматривалось, изучалось и подтверждалось, оно меняло картину в той области математики, которой занимался Ван. «В сообществе царит немного странная атмосфера, потому что в каком-то смысле священный Грааль был достигнут», — сказал Шмеркин. Проблема Какеи «не решена во всех измерениях, но большая часть священного Грааля уже достигнута. Поэтому мы все задаемся вопросом: что делать дальше? И, конечно, все эти методы открыли путь к множеству интересных результатов».
Трехмерные версии других, еще более сложных задач, таких как гипотеза об ограничении в трехмерном пространстве и гипотеза о локальном сглаживании, остаются нерешенными. Еще одной очевидной целью для Ван и ее сообщества является доказательство гипотезы Какеи в четырехмерном пространстве, если не общее доказательство для всех размерностей, хотя пока никто не знает, как оно будет выглядеть.
По теме:
- Доказательство, которое случается раз в столетие, подтверждает гипотезу Какеи
- Вопрос о вращающейся линии помогает понять, что делает действительные числа особенными
- Новое доказательство решает сложную геометрическую задачу
- Башня гипотез, покоящаяся на острие иглы
- Как простая математика сдвигает дело с мертвой точки
Ван сказала, что в данный момент она не хочет слишком углубляться в решение какой-то конкретной проблемы. Ее звезда взошла в Китае настолько, что теперь она получает признание на публике. Филдсовская премия сделает ее выдающейся фигурой как в Китае, так и во всем мировом математическом сообществе. Она боится отстать от других и по-прежнему считает, что должна работать больше, чем ее коллеги, чтобы быть на их уровне. Когда ее спросили об этом — все считают ее невероятно талантливой, — она выглядела искренне удивленной и довольной.
Ван с нетерпением ждет новых задач, подобных той, что она решила в Какее. Еще одна сложная задача, которую она оставила на будущее, — как быть уверенным в себе математиком, занимаясь чем-то, что не связано с математикой. Ван воодушевляет то, что ее научный руководитель находит время для чтения ради удовольствия. «Я всегда хотела бы вернуться в то время, когда у меня было бесконечное количество времени на чтение, — сказала она. — Думаю, это было действительно прекрасно».
автор: Натали Уолховер — Обозреватель