В хаосе революционной Франции математическая одержимость одного человека привела к открытию, которое теперь лежит в основе многих разделов математики и физики. Это открытие, называемое преобразованием Фурье, позволяет разложить любую функцию на составляющие.
Сьерра Баучер; Сэмюэл Веласко/Quanta Magazine
Когда мы слушаем музыкальное произведение, наши уши выполняют вычисления. Высокие ноты флейты, средние тона скрипки и низкий гул контрабаса наполняют воздух звуковыми волнами разной частоты. Когда объединённая звуковая волна проходит через слуховой проход и попадает в улитку, имеющую форму спирали, волоски разной длины резонируют на разных частотах, разделяя беспорядочный сигнал на отдельные звуки. Математикам потребовалось целое столетие, чтобы освоить этот же расчёт.
В начале 1800-х годов французский математик Жан-Батист Жозеф Фурье открыл способ разложения любой функции на набор фундаментальных волн, или частот. Сложите эти составляющие частоты, и вы получите исходную функцию. Этот метод, который сегодня называется преобразованием Фурье, позволил математику, ранее горячо поддерживавшему Французскую революцию, совершить ещё и математическую революцию. На основе преобразования Фурье выросла целая область математики, называемая гармоническим анализом, которая изучает составляющие функций. Довольно скоро математики начали обнаруживать глубокие связи между гармоническим анализом и другими областями математики и физики — от теории чисел до дифференциальных уравнений и квантовой механики. Преобразование Фурье также используется в компьютерах для сжатия файлов, улучшения аудиосигналов и многого другого. «Трудно переоценить влияние анализа Фурье на математику, — говорит Лесли Грингард из Нью-Йоркского университета и Института Флэтайрон. — Он затрагивает практически все области математики, физики, химии и других наук».
Пламя страсти
Фурье родился в 1768 году в предреволюционной Франции, охваченной хаосом. Оставшись сиротой в 10 лет, он получил образование в монастыре в своём родном городе Осере. Следующее десятилетие он метался между желанием посвятить свою жизнь религии и математике, но в конце концов отказался от религиозного образования и стал учителем. Он также поддерживал революционные движения во Франции, пока в 1794 году, во время эпохи террора, 26-летнего юношу не арестовали и не заключили в тюрьму за убеждения, которые считались антиреволюционными. Его приговорили к гильотине.
Прежде чем его успели казнить, Террор закончился. И в 1795 году он вернулся к преподаванию математики. Несколько лет спустя он был назначен научным консультантом Наполеона Бонапарта и присоединился к его армии во время вторжения в Египет. Именно там Фурье, параллельно занимаясь изучением египетских древностей, начал работу, которая привела его к созданию преобразования Фурье: он хотел понять математику теплопроводности. К моменту своего возвращения во Францию в 1801 году — незадолго до того, как французская армия была изгнана из Египта, а украденный Розеттский камень был передан британцам, — Фурье не мог думать ни о чём другом. Если вы нагреете одну сторону металлического стержня, тепло будет распространяться до тех пор, пока весь стержень не будет иметь одинаковую температуру. Фурье утверждал, что распределение тепла по стержню можно записать как сумму простых волн. По мере остывания металла эти волны теряют энергию, что приводит к их сглаживанию и, в конечном итоге, к исчезновению. Волны, которые колеблются быстрее, то есть обладают большей энергией, сначала затухают, за ними, в конечном итоге, следуют более низкие частоты. Это как симфония, которая заканчивается замиранием каждого инструмента, от пикколо до туб.
Предложение было радикальным. Когда Фурье представил его на заседании Парижского института в 1807 году, известный математик Жозеф Луи Лагранж, по слухам, заявил, что эта работа «невозможна». Больше всего его коллег беспокоили странные случаи, когда распределение тепла было резко неравномерным — например, когда стержень был ровно наполовину холодным, а наполовину горячим. Фурье утверждал, что внезапный скачок температуры всё равно можно описать математически: для этого нужно просто добавить бесконечное количество более простых кривых вместо конечного. Но большинство математиков того времени считали, что никакое количество гладких кривых не может дать резкий скачок.
Сегодня мы знаем, что Фурье в целом был прав. «Вы можете представить что угодно в виде суммы этих очень, очень простых колебаний, — сказал Чарльз Фефферман, математик из Принстонского университета. — Известно, что если у вас есть много камертонов и вы идеально их настроите, они смогут воспроизвести Девятую симфонию Бетховена». Этот процесс не работает только с самыми причудливыми функциями, например с теми, которые сильно колеблются, как бы вы их ни приближали.
Так как же работает преобразование Фурье?
Натренированное ухо
Выполнение преобразования Фурье похоже на то, как если бы вы понюхали духи и определили их состав или услышали сложный джазовый аккорд и выделили из него отдельные ноты. С математической точки зрения преобразование Фурье — это функция. На вход она принимает заданную функцию, которая может выглядеть довольно сложной. На выходе она выдаёт набор частот. Если записать простые синусоидальные и косинусоидальные волны с этими частотами, а затем сложить их, получится исходная функция.
Для этого преобразование Фурье по сути сканирует все возможные частоты и определяет, насколько каждая из них влияет на исходную функцию. Давайте рассмотрим простой пример.
Рассмотрим следующую функцию:
Преобразование Фурье показывает, какой вклад в исходную функцию вносит каждая частота. Для этого волны умножаются друг на друга. Вот что произойдёт, если мы умножим исходную функцию на синусоиду с частотой 3:
Здесь много больших пиков, что означает, что частота 3 вносит вклад в исходную функцию. Средняя высота пиков показывает, насколько велик этот вклад. Теперь давайте проверим, присутствует ли частота 5. Вот что получится, если умножить исходную функцию на синусоиду с частотой 5:
Здесь есть несколько больших пиков, но также и большие впадины. Среднее значение нового графика близко к нулю. Это указывает на то, что частота 5 не влияет на исходную функцию. Преобразование Фурье выполняет это для всех возможных частот, умножая исходную функцию на синусоидальные и косинусоидальные волны. (На практике это сравнение выполняется на комплексной плоскости с использованием комбинации действительных и мнимых чисел.). Таким образом, преобразование Фурье позволяет разложить сложную на вид функцию всего на несколько чисел. Это сделало его важнейшим инструментом для математиков: если они не могут решить какую-то задачу, они могут попробовать преобразовать её. Часто задача становится намного проще, если перевести её на язык частот. Если исходная функция имеет резкий скачок, как в случае с прямоугольным сигналом ниже (который часто встречается в цифровых сигналах), преобразование Фурье даст бесконечный набор частот, которые, будучи сложенными вместе, максимально точно аппроксимируют скачок. Этот бесконечный набор называется рядом Фурье, и, несмотря на то, что математики поначалу не хотели признавать его существование, сейчас он является важным инструментом для анализа функций.
Выход на Бис
Преобразование Фурье также работает с объектами более высокой размерности, например с изображениями. Изображение в градациях серого можно представить как двумерную функцию, которая показывает, насколько ярким является каждый пиксель. Преобразование Фурье раскладывает эту функцию на набор двумерных частот. Синусоидальные и косинусоидальные волны, определяемые этими частотами, образуют полосатые узоры, ориентированные в разных направлениях. Эти узоры и их простые комбинации, напоминающие шахматную доску, можно сложить вместе, чтобы воссоздать любое изображение. Например, любое изображение размером 8 на 8 можно составить из комбинации 64 базовых элементов, представленных ниже. Затем с помощью алгоритма сжатия можно удалить высокочастотную информацию, которая соответствует мелким деталям, без существенного изменения внешнего вида изображения для человеческого глаза. Именно так JPEG сжимает сложные изображения, значительно уменьшая объём данных.
В 1960-х годах математики Джеймс Кули и Джон Тьюки разработали алгоритм, который позволял выполнять преобразование Фурье гораздо быстрее. Он получил название «быстрое преобразование Фурье». С тех пор преобразование Фурье применяется практически при каждой обработке сигнала. «Теперь это часть повседневной жизни», — говорит Грингард. Он использовался для изучения приливов и отливов, обнаружения гравитационных волн, а также для разработки радаров и магнитно-резонансной томографии. Он позволяет нам снижать уровень шума в аудиофайлах, а также сжимать и хранить всевозможные данные. В квантовой механике — физике очень малых величин — он даже обеспечивает математическую основу для принципа неопределённости, который гласит, что невозможно одновременно знать точное положение и импульс частицы. Вы можете записать функцию, которая описывает возможные положения частицы; преобразование Фурье этой функции опишет возможные импульсы частицы. Когда ваша функция может сообщить вам, где с высокой вероятностью будет находиться частица, представленная резким пиком на графике функции, преобразование Фурье будет очень растянутым. Будет невозможно определить, каким должен быть импульс частицы. Верно и обратное.
Похожие:
- Доказательство, которое случается раз в столетие, подтверждает гипотезу Какеи
- Как вейвлеты помогают исследователям преобразовывать и анализировать данные
- Математики открыли идеальный способ умножения
Преобразование Фурье нашло применение и в исследованиях в области чистой математики. Гармонический анализ, изучающий преобразование Фурье, а также способы его обратного преобразования для восстановления исходной функции, является мощным инструментом для изучения волн. Математики также обнаружили, что гармонический анализ имеет глубокие и неожиданные связи с теорией чисел. Они использовали эти связи для изучения взаимосвязей между целыми числами, в том числе распределения простых чисел — одной из величайших загадок математики. «Если бы люди не знали о преобразовании Фурье, я не знаю, какая часть математики исчезла бы, — сказал Фефферман. — Но это была бы значительная часть».
источник: https://www.quantamagazine.org/what-is-the-fourier-transform-20250903/