Стоя посреди поля, мы легко забываем, что живём на круглой планете. Мы настолько малы по сравнению с Землёй, что с нашей точки зрения она кажется плоской.
Мир полон подобных фигур — тех, которые кажутся плоскими живущему на них муравью, хотя и имеют более сложную глобальную структуру. Математики называют такие фигуры многообразиями. Многообразия, введенные Бернхардом Риманом в середине XIX века, изменили представление математиков о пространстве. Оно перестало быть просто физической оболочкой для других математических объектов, а стало абстрактным, четко определенным объектом, достойным изучения сам по себе. Эта новая перспектива позволила математикам тщательно исследовать многомерные пространства, что привело к рождению современной топологии — области, посвящённой изучению математических пространств, таких как многообразия. Многообразия также стали играть центральную роль в таких областях, как геометрия, динамические системы, анализ данных и физика.
Сегодня они дают математикам общий словарь для решения самых разных задач. Они так же важны для математики, как алфавит для языка. «Если я знаю кириллицу, знаю ли я русский?» — сказал Фабрицио Бьянки. (открывает новую вкладку), математик из Пизанского университета в Италии. «Нет. Но попробуйте выучить русский, не изучая кириллицу».
Так что же такое многообразия и какой словарь они предоставляют?
Идеи обретают форму
На протяжении тысячелетий геометрия означала изучение объектов в евклидовом пространстве, плоском пространстве, которое мы видим вокруг себя. «До XIX века слово „пространство“ означало „физическое пространство“», — сказал Хосе Феррейрос — философ науки из Севильского университета в Испании, — аналог прямой в одном измерении или плоскости в двух измерениях.
В евклидовом пространстве всё происходит так, как и ожидалось: кратчайшее расстояние между любыми двумя точками — прямая линия. Сумма углов треугольника составляет 180 градусов. Инструменты исчисления надёжны и чётко определены. Но к началу XIX века некоторые математики начали исследовать другие типы геометрических пространств — не плоские, а искривлённые, как сфера или седло. В таких пространствах параллельные прямые могут в конечном итоге пересечься. Сумма углов треугольника может быть больше или меньше 180 градусов. И вычисления могут стать гораздо менее простыми.
Математическое сообщество с трудом принимало (или даже понимало) этот сдвиг в геометрическом мышлении. Но некоторые математики хотели развить эти идеи ещё дальше. Одним из них был Бернхард Риман, застенчивый молодой человек, который изначально планировал изучать теологию (его отец был пастором), прежде чем увлекся математикой. В 1849 году он решил продолжить докторскую диссертацию под руководством Карла Фридриха Гаусса, который изучал внутренние свойства кривых и поверхностей, не зависящие от окружающего их пространства.
Общественное достояние
В 1854 году Риману было предложено прочитать лекцию, чтобы получить место преподавателя в Гёттингенском университете. Тема лекции: «Основания геометрии». 10 июня, несмотря на страх публичных выступлений, он изложил новую теорию, в которой обобщил идеи Гаусса о геометрии поверхностей на произвольное число измерений (и даже на бесконечное число измерений).
Гаусс был сразу впечатлён лекцией, которая затрагивала не только математику, но также философию и физику. Но большинство математиков сочли идеи Римана слишком расплывчатыми и абстрактными, чтобы быть полезными. «Многие учёные и философы говорили: „Это чепуха“», — сказал Феррейрос. Поэтому на протяжении десятилетий работа оставалась практически без внимания. Лекция Римана была опубликована только в 1868 году, через два года после его смерти. Но к концу XIX века такие выдающиеся математики, как Анри Пуанкаре, осознали важность идей Римана. А в 1915 году Альберт Эйнштейн использовал их в своей общей теории относительности, выведя их из области философской абстракции в реальный мир. К середине XX века они стали неотъемлемой частью математики.
Риман ввёл концепцию, охватывающую все возможные геометрии в любом количестве измерений. Концепция, которая изменила взгляд математиков на пространство. Коллектор.
Изученная территория
Термин «многообразие» происходит от слова Римана Mannigfaltigkeit , что в переводе с немецкого означает «разнообразие» или «кратность».
Многообразие — это пространство, которое выглядит евклидовым при увеличении любой его точки. Например, окружность — одномерное многообразие. Увеличьте масштаб в любой точке, и она будет выглядеть как прямая линия. Муравей, живущий на окружности, никогда не узнает, что она на самом деле круглая. Но увеличьте масштаб восьмёрки, прямо в точке её пересечения, и она никогда не будет выглядеть как прямая линия. В точке пересечения муравей поймёт, что он не находится в евклидовом пространстве. Следовательно, восьмёрка не является многообразием.
Аналогично, в двух измерениях поверхность Земли представляет собой многообразие; если достаточно увеличить любую её часть, она будет выглядеть как плоская двумерная плоскость. Но поверхность двойного конуса — фигуры, состоящей из двух конусов, соединённых вершинами, — многообразием не является.
Многообразия решают проблему, с которой в противном случае пришлось бы иметь дело математикам: свойства фигуры могут меняться в зависимости от природы и размерности пространства, в котором она находится (и того, как она в этом пространстве находится). Например, положите кусок верёвки на стол и соедините её концы, не поднимая её. Вы получите простую петлю. Теперь поднимите верёвку в воздух и свяжите её концы. Рассматривая верёвку в трёх измерениях, вы можете пропустить её над собой и под ней, прежде чем соединить концы, создавая всевозможные узлы за пределами простой петли. Все они представляют одно и то же одномерное многообразие — закрученную верёвку — но их свойства различаются при рассмотрении в двух и трёх измерениях.
Математики избегают подобных неоднозначностей, концентрируясь на внутренних свойствах многообразий. Определяющее свойство многообразий — то, что в любой точке они выглядят евклидовыми, — чрезвычайно полезно в этом отношении. Поскольку любой небольшой участок многообразия можно представить в терминах евклидова пространства, математики могут использовать традиционные методы исчисления, например, для вычисления его площади или объёма, или для описания движения по нему.
«Если я знаю кириллицу, знаю ли я русский? Нет. Но попробуйте выучить русский, не зная кириллицы.» Фабрицио Бьянки, Пизанский университет
Для этого математики делят заданное многообразие на несколько перекрывающихся частей и представляют каждую из них «картой» — набором определённого числа координат (равного размерности многообразия), которые указывают ваше местоположение на многообразии. Важно также записать правила, описывающие, как координаты перекрывающихся карт соотносятся друг с другом. Совокупность всех этих карт называется атласом.
Затем вы можете использовать этот атлас, диаграммы которого преобразуют меньшие области вашего потенциально сложного многообразия в привычное евклидово пространство, для измерения и исследования многообразия по одному участку за раз. Если вы хотите понять, как функция ведёт себя на многообразии, или получить представление о его глобальной структуре, вы можете разбить задачу на части, решить каждую часть на отдельной диаграмме в евклидовом пространстве, а затем сложить результаты всех диаграмм в атласе, чтобы получить полный ответ.
Сегодня этот подход широко распространен в математике и физике.
Многообразие применений
Многообразия, например, играют ключевую роль в нашем понимании Вселенной. В своей общей теории относительности Эйнштейн описал пространство-время как четырёхмерное многообразие, а гравитацию — как кривизну этого многообразия. И трёхмерное пространство, которое мы видим вокруг себя, также является многообразием, которое, как и многообразия, кажется евклидовым тем из нас, кто живёт в нём, хотя мы всё ещё пытаемся понять его глобальную форму.
Даже в случаях, когда многообразия кажутся несуществующими, математики и физики пытаются переписать свои задачи на языке многообразий, чтобы использовать их полезные свойства. «В физике многое сводится к пониманию геометрии», — сказал Джонатан Сорс.(открывает новую вкладку), физик-теоретик из Принстонского университета. «И часто неожиданным образом».
Рассмотрим двойной маятник, состоящий из одного маятника, подвешенного на конце другого. Небольшие изменения начальных условий двойного маятника приводят к тому, что он описывает совершенно разные траектории в пространстве, что затрудняет его предсказание и понимание. Но если представить конфигурацию маятника всего двумя углами (по одному, описывающему положение каждого из его плеч), то пространство всех возможных конфигураций будет похоже на пончик, или тор — многообразие. Каждая точка на этом торе представляет одно возможное состояние маятника; пути на торе представляют собой траектории, по которым маятник может двигаться в пространстве. Это позволяет исследователям переводить свои физические вопросы о маятнике в геометрические, делая их более наглядными и простыми для решения. Таким же образом они изучают движение жидкостей, роботов, квантовых частиц и многого другого.
Аналогичным образом, математики часто рассматривают решения сложных алгебраических уравнений как многообразие, чтобы лучше понять их свойства. Они анализируют многомерные наборы данных, например, регистрирующие активность тысяч нейронов в мозге, рассматривая, как эти точки данных могут располагаться на многообразии меньшей размерности.
Спрашивать, как учёные используют многообразия, всё равно, что спрашивать, как они используют числа, сказал Сорс. «Они лежат в основе всего».
автор: Паулина Ровинская, научный сотрудник
источник: https://www.quantamagazine.org/what-is-a-manifold-20251103/