Самые значительные математические успехи ИИ связаны с решением задач, поставленных бунтарем середины XX века. Изучая то, что делает задачи Эрдёша уникальными, математики пытаются понять, как ИИ может изменить остальную математику.
20 мая 2026 года компания OpenAI сделала заявление, которое потрясло математический мир. Внутренняя модель искусственного интеллекта, недоступная широкой публике, нашла контрпример к задаче о «единичном расстоянии», гипотезу, выдвинутую в 1946 году венгерским математиком Полом Эрдёшем. Эрдёш задавал тысячи вопросов, но этот был особенным: его было просто объяснить, но при этом он был математически глубоким. Это было первое исторически значимое доказательство, полученное с помощью ИИ. Хотя результат работы модели не был окончательным — математики-люди существенно улучшили его за несколько недель, — он был новаторским, поскольку в нем использовались идеи из далекой от этой задачи области математики, которые до этого никто не применял. И он оказал влияние: через несколько дней аналогичные методы были использованы для решения других важных задач. Затем, 1 августа, компания OpenAI объявила о том, что еще не выпущенная модель под названием Astra сделала 10 дополнительных математических открытий, в том числе нашла решения еще трех задач, поставленных Эрдёшем. Многие математики назвали подобные достижения фазовым переходом в развитии математических возможностей моделей искусственного интеллекта. Эти модели «кардинально меняют подход к математическим исследованиям», — сказал Нога Алон из Принстонского университета, который за свою многолетнюю карьеру решил десятки задач Эрдёша.
Эрдёш и его гипотезы давно восхищают математиков. Он постоянно путешествовал — годами жил на чемоданах, останавливаясь у друзей, и почти ничего не имел. Он публиковал задачи в статьях и рассылал их математикам по всему миру, часто назначая призовые деньги, которые он выплачивал из своего кармана тому, кто первым находил решение. Вознаграждение могло составлять символические 10 или 25 долларов, а за задачи, которые он считал важными или сложными, оно могло достигать нескольких тысяч. Эрдёш умер от сердечного приступа в 1996 году во время участия в математической конференции в Варшаве, но некоммерческий фонд, базирующийся в Айове, пообещал выплатить обещанные премии. Он был не только любимым публикой, но и по-настоящему странным человеком. Он носил только шелковую одежду и избегал прикосновений других людей. Глубоко циничный по отношению к власти, он раздавал большую часть заработанных денег и полагался на друга, который управлял его финансами и другими практическими делами. Он называл Бога «Верховным фашистом» и подпитывал свой нескончаемый поток математических идей амфетаминами. По странной иронии истории проблем, о которых он говорил, теперь стали главной площадкой для испытаний — и, по сути, чередой пиар-кампаний — для крупнейших и самых влиятельных технологических компаний мира.
Но, скорее всего, ничего этого не произошло бы, если бы не английский математик по имени Томас Блум.
Много встреч
Как и Эрдёш, Блум интересовался как теорией чисел, так и комбинаторикой. Он специализировался на области, называемой арифметической комбинаторикой, которая находится на стыке этих двух дисциплин. Получив докторскую степень в 2014 году, Блум стал восходящей звездой в этой области и получил престижную стипендию от Британского королевского общества, которая позволяла ему работать практически в любом университете по его выбору. (Сейчас он работает в Манчестерском университете.)
Стиль Эрдёша нравился Блуму столько, сколько он себя помнит. Но ему всегда было сложно уследить за тем, какие задачи были решены, а какие он совсем забыл. Поэтому в начале 2023 года он решил составить список из как можно большего количества задач. Он хотел использовать его для себя. Но «я подумал, что было бы проще, если бы я мог получить к нему доступ, где бы я ни находился», — сказал он. Он решил, что «можно сделать сайт, рассчитывая на то, что им, возможно, никто не воспользуется». Он собрал пару сотен задач и запустил erdosproblems.com. Блум использовал ChatGPT для написания кода на Python, на котором работал сайт, что в то время было выдающимся достижением для большой языковой модели. Использование одного из них для совместной работы над математическими задачами все еще казалось маловероятным.
Его целью было не просто вычеркивать пункты из списка. Он задавался вопросом, может ли «современная математика, часто использующая методы, неизвестные Эрдёшу, прояснить многие из этих малопонятных задач», — писал он в посте в блоге. — «Тогда у нас останется ядро интересных, сложных задач, которые могут служить для демонстрации пределов наших знаний».
Блум проделал огромную работу по составлению списка: иногда Эрдёш формулировал задачи двусмысленно или неясно, и Блум выяснял, какая версия каждой задачи наиболее логична. Он продолжал добавлять задачи на сайт, и постепенно его аудитория росла. В течение 2024 года и первых восьми месяцев 2025 года статус 111 задач из списка был изменён с «открытых» на «решённых» (хотя некоторые из них были решены годами ранее, и изменение их статуса отражало повторное открытие или проверку доказательства). Затем, в августе 2025 года, некоторые коллеги предложили Блуму добавить функцию комментирования, чтобы люди могли обсуждать интересующие их проблемы. Он быстро справился с этой задачей, написав код с помощью ChatGPT. К настоящему моменту он каталогизировал почти 1000 проблем.
Блум выбрал удачный момент. Он дал возможность единомышленникам общаться друг с другом, и это «действительно способствовало формированию сообщества», по его словам. По большей части комментарии были спорадическими — проблема могла привлечь внимание одного человека, который приводил пример или отмечал, насколько сложной она кажется. Но активность неуклонно росла, и некоторые проблемы становились катализатором сложных математических дискуссий между незнакомцами. «Том, наверное, так и не понял этого, но для меня это, честно говоря, изменило жизнь», — сказал Воутер ван Дорн, четвертый по количеству комментариев на сайте Блума. Как и многие люди, которые стали активно комментировать статьи на сайте осенью 2025 года, ван Дорн не является профессиональным математиком. По его словам, он работает «в компании, которую нанимают другие компании для обслуживания клиентов». Но и дилетантом его не назовешь: десять лет назад он почти получил степень магистра математики в Лёвенском католическом университете в Бельгии. В 2024 году, отчасти под впечатлением от того, насколько продвинутыми становятся большие языковые модели, он взял шестимесячный отпуск, чтобы сосредоточиться на математике. В то время, хотя он и не особо хотел использовать искусственный интеллект, он, по его воспоминаниям, думал: «Сейчас я разбираюсь в математике лучше, чем ИИ, но кто знает, как будет обстоять дело через год, два года, пять лет? Если я хочу закончить эти проекты и хочу, чтобы они были моими, то сейчас самое время».
Задача 1102. Мы говорим, что A⊆N обладает свойством P если, для всех n≥1, существует только конечное число a∈A таких, что n+a не имеет квадрата. Мы говорим, что A обладает свойством Q если существует бесконечно много n таких, что n+a не содержит квадратов для всех a<n. Как быстро должны выполняться последовательности A={a1<a2<⋯} со свойствами P или Q увеличить?
Итак, в октябре 2025 года ван Дорн, вернувшийся к своей основной работе, оставил первый комментарий на странице задачи 1102. Задача, которую Эрдёш сформулировал в 1981 году, касается свойств множеств целых чисел, не имеющих квадратов в разложении на простые множители, то есть целых чисел, не имеющих повторяющихся простых делителей. (Например, число 30 не имеет квадратов делителей, потому что оно равно 2 × 3 × 5, а число 18 — нет, потому что оно равно 2 × 3 × 3; число 3 повторяется.)
В начале ноября ван Дорн поделился своим прогрессом в поиске ответа, который он нашел без помощи ИИ, в комментарии на странице задачи. Позже в тот же день другой комментатор на сайте ответил, что нашел изъян в рассуждениях ван Дорна. Они быстро обменялись репликами, и ван Дорн убедил своего собеседника в правильности своих рассуждений. «Теперь я понимаю, как работает ваш аргумент. Отлично!» — ответил другой математик. Этим математиком был Теренс Тао — профессор Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе, который, пожалуй, является самым известным из ныне живущих математиков и бесспорно одним из самых влиятельных. (Не случайно, когда Тао было всего 10 лет, он познакомился с Эрдешем.)
Сайт Блума, оформленный в духе более ранних времен, стал примером интернета в его демократическом проявлении. «Все это сотрудничество было бы невозможно без сайта Тома и раздела комментариев», — сказал ван Дорн. Не имело значения, есть ли у вас постоянная должность, молоды вы или стары, работаете ли вы в престижном университете или вообще не работаете в университете. Если вы хотели заниматься математикой и у вас были хорошие идеи, вы могли найти людей для сотрудничества. Но с наступлением зимы — примерно в то же время, когда ван Дорн начал сотрудничать с Терри Тао, — все стало меняться.
«Путешествие к перекрестку»
Кевин Баррето и Лиам Прайс, которым чуть за 20, подружились летом 2025 года на сервере Discord, посвященном искусственному интеллекту. Баррето сейчас учится в Кембриджском университете; Прайс изучал математику в колледже, но бросил учебу, не закончив курс. В декабре, убежденные в том, что новейшие модели искусственного интеллекта могут решить некоторые задачи Эрдеша, они начали предлагать им целые пакеты задач. Они быстро поняли, что если сказать GPT-5.2, что ответ на задачу неизвестен, то это мало что даст. Поэтому, как выразился Баррето, они научились «подсказывать ему очень специфическим образом, заставляя его думать, что задача проще, чем на самом деле».
Проблема 333. Пусть A⊆N — множество нулевой плотности. Существует ли B такое, что A⊆B+B и |B∩{1,…,N}|=o(N1/2) для всех больших N?
Они считали, что это их первая победа над задачей 333 из списка Эрдёша. Рано утром в Рождество Баррето опубликовал доказательство на сайте Bloom, написав: «Насколько нам известно, это первый случай, когда большая языковая модель полностью самостоятельно решила задачу Эрдёша, которую ранее не решали люди». Несмотря на то, что задача 333, связанная с суммами множеств целых чисел, не была особенно важной, ее решение с помощью ИИ все равно казалось значимым. Но несколько часов спустя другой пользователь указал на то, что сам Эрдёш дал решение задачи 333 в статье опубликованной в 1977 году. Баррето признал свою ошибку. «Я официально прошу всех участников сайта уделять больше внимания поиску литературы по задачам, которые в настоящее время помечены как нерешённые, — написал он. — Для человека, который уже дважды попался на этом, это довольно мучительно».
Проблема 728. Пусть C>0 и ϵ>0 достаточно малы. Существует ли бесконечно много целых чисел a,b,n с a≥ϵn и b≥ϵn таких, что a!b!∣n!(a+b–n)! и a+b>n+Clogn?
Ничто не могло их остановить, и к 4 января 2026 года они с Прайсом использовали GPT-5.2 Pro, чтобы найти решение задачи 728 Эрдеша — задачи о том, когда одни числа делятся на другие. На этот раз никто не смог найти более ранних работ, в которых уже было бы доказано это решение. Баррето использовал другой инструмент на основе ИИ под названием Aristotle (разработанный стартапом Harmonic), чтобы убедиться, что доказательство логически непротиворечиво. Нэт Сотанапхан — инженер-программист и единственный участник форума, который писал больше, чем Блум, Тао и ван Дорн, попросил ChatGPT сформулировать результат и опубликовал его в интернете. Прайс разработал методологию, позволяющую задавать языковым моделям открытые вопросы. Сначала он просил чат-бота предложить решение. Затем он передавал это решение новому экземпляру чат-бота, прося его проверить работу предыдущего чат-бота. Он повторял этот процесс до тех пор, пока не получал решение, которое казалось ему работоспособным. (Это перекликается с некоторыми внутренними разработками компаний, которые создают так называемые «наборы инструментов» или «каркасы», автоматизирующие итерации, которые Прайс выполняет вручную.)
Статьи Баррето и Прайса — лишь малая часть множества задач Эрдеша, которые были решены с помощью ИИ хотя бы частично за последние несколько месяцев. Есть несколько причин, по которым именно эти задачи стали таким благодатным полем для больших языковых моделей. Главная из них заключается в том, что в целом задачи Эрдеша относятся к теории чисел, комбинаторике и теории графов — областям математики, которые оказались более доступными для больших языковых моделей, чем другие. Кроме того, задачи сильно различаются по сложности и математической значимости. Такое разнообразие делает их подходящими для зарождающейся технологии, возможности которой также сильно варьируются.
«Многие из моих недавних работ в основном обязаны своим появлением искусственному интеллекту, — сказал ван Дорн. — В них использованы идеи, которые я не придумывал сам». Как и многие другие пользователи сайта Erdős, ван Дорн в восторге от того, что большие языковые модели позволяют ему делать больше и быстрее. «Если я читаю идею, сгенерированную большой языковой моделью, я перевариваю ее, пытаюсь понять, упростить и обобщить», — сказал он. Он использует ИИ, чтобы лучше понимать математику. Не все придерживаются этого стандарта. «Большая проблема заключается в том, что ИИ часто используют люди, которые не являются математиками, не имеют обширных математических знаний и не способны проверить результат, — говорит Блум. — Они любят действовать быстро, просят ИИ проверить их работу, и она разрастается. Мы видим все больше статей объемом от 100 до 200 страниц, которые публикуют люди». «Я решил эту теорему; я заставил ИИ сгенерировать доказательство, проверить его и написать статью». Но ни один человек ее не читал и не собирается читать. Сейчас это огромная проблема».
Задача 1196. Верно ли, что для любого x, если A⊂[x,∞) является примитивным множеством целых чисел (то есть никакие два различных элемента A не делятся друг на друга), то ∑a∈A1aloga<1+o(1), где o(1) — это →0 в качестве x→∞?
По словам самого Прайса, ему не хватает математических знаний, чтобы проверить решения, которые он в итоге получает от больших языковых моделей. Но с помощью Баррето он смог найти математиков, которые достаточно компетентны и готовы проверить результаты. Прайс и Баррето являются соавторами статьи, опубликованной в мае 2026 года, вместе с Тао, Джаредом Дукером Лихтманом из Стэнфордского университета и другими выдающимися математиками. В этой статье решается задача 1196 Эрдёша — один из наиболее значимых результатов. (Задача 1196 касается возможного размера так называемых примитивных множеств — наборов целых чисел, таких как {2, 5, 9, 21}, в которых ни одно число не делится на другое.)
Блум был удивлен тем, что, несмотря на пристальное внимание со стороны OpenAI, Google DeepMind и нескольких стартапов, большинство новых результатов было получено любителями и студентами, использующими общедоступные большие языковые модели, а не корпоративными лабораториями, работающими с более продвинутыми внутренними моделями. Но ситуация изменилась несколько недель спустя, 20 мая 2026 года, когда компания OpenAI объявила, что решила одну из самых известных задач Эрдеша — задачу о единичном расстоянии.
Много Расставаний.
В первые месяцы 2026 года крупные технологические компании начали видеть перспективы в проекте erdosproblems.com. Как объяснил Лихтман, «у Эрдеша было более 1000 статей. Они были разбросаны по разным источникам». Один институт в Венгрии собрал отсканированные копии многих статей, но никто не собрал все задачи. «Такое единое хранилище, доступное для всех, — лаборатории поняли, что это может стать своего рода эталоном». В январе группа из 24 исследователей под руководством Google DeepMind опубликовала статью о решении четырех задач и нахождении старых, забытых решений еще девяти задач после того, как «с помощью Gemini они систематически проверили 700 гипотез, помеченных как «открытые» в базе данных Блума по задачам Эрдёша». В мае другая группа из 21 исследователя из DeepMind объявила о том, что «наш самый способный агент самостоятельно решил 9 из 353 открытых задач Эрдёша, потратив на каждую из них несколько сотен долларов». (На момент публикации этой статьи в базе Блума было 565 решенных задач и 652 открытых, но команда DeepMind сузила поиск до задач, сформулированных в рамках формальной логики.)
А 20 мая компания OpenAI представила решение задачи о единичном расстоянии, а также пост в блоге с описанием проделанной работы и дополнительную статью, в которой девять математиков мирового уровня комментируют корректность доказательства и важность проделанной работы (а также представляют упрощенную версию результата, выполненную человеком). Математики в целом считали, что гипотеза Эрдёша — о том, сколько точек, равноудаленных друг от друга, можно разместить на плоскости, — верна. К всеобщему удивлению, внутренняя модель OpenAI нашла контрпример. Для этого она использовала сложные инструменты из области математики под названием «алгебраическая теория чисел». Как написал Джейкоб Цимерман из Университета Торонто в сопутствующей статье, «это действительно впечатляющая работа. … Это определенно пугающая конструкция».
В той же статье Тим Гауэрс из Кембриджа и Коллеж де Франс написал, что «если бы статью написал человек и отправил ее в Annals of Mathematics, а меня попросили бы быстро высказать свое мнение, я бы без колебаний рекомендовал ее к публикации. Ни одно из предыдущих доказательств, сгенерированных искусственным интеллектом, не было даже близко к этому».
В статье, где было представлено оригинальное решение, автор указан просто как «OpenAI».
Позже, используя методы, схожие с теми, которые модель искусственного интеллекта применила для решения задачи о единичном расстоянии, группа из четырех математиков, включая Блума, опровергла версию другой давней гипотезы Эрдёша. Гипотеза о сумме и произведении предполагала, что если у вас есть наборы чисел, то либо их сумма, либо их произведение должны быстро расти. Математики нашли набор действительных чисел, для которых и сумма, и произведение растут медленнее, чем ожидалось. Гипотеза для целых чисел остается открытой. Чтобы понять, какое влияние ИИ окажет на математику и математиков, нужно не только обратить внимание на его самые важные результаты, но и изучить, как он меняет повседневную практику решения рутинных задач. Нога Алон — математик из Принстона, по его собственным оценкам, за свою карьеру решил несколько десятков задач Эрдёша. Теперь он перестал пытаться их решить. «С тех пор как их начал решать ИИ, в этом больше нет смысла», — сказал он. Терри Тао отошел от сообщества исследователей задач Эрдёша, чтобы сосредоточиться на работе.
Ван Дорн, который пока еще работает в компании, предоставляющей услуги по работе с клиентами, сказал, что большие языковые модели «явно лучше мыслят и решают математические задачи, чем я. Я и в подметки не гожусь современным системам искусственного интеллекта». Однако, добавил он, «конечные доказательства, которые я пишу, проще, универсальнее и легче для восприятия другими людьми, чем то, что придумал ChatGPT». Искусственный интеллект, несомненно, повысил его продуктивность, и он по-прежнему получает удовольствие от работы. «Если вы хотите играть на пианино, вы не станете нанимать машину, которая играет лучше вас. Вы будете играть на пианино, потому что вам это нравится. Мне нравится думать о числах, заниматься математикой, писать статьи. Я не стану нанимать машину, которая сделает это за меня». Для ван Дорна радость — это осмысление ответов, которые он получает от больших языковых моделей. «В последнее время я много занимаюсь математикой благодаря сообществу, занимающемуся задачами Эрдеша. Раньше я все делал сам, в одиночку, в своей комнате. Не знаю, как это произошло, но теперь люди пишут мне: «У меня есть идея. Хочешь подумать над ней вместе со мной?»»Благодаря растущим возможностям искусственного интеллекта таким людям, как Прайс или ван Дорн, не обладающим глубокими познаниями в математике, стало проще решать головоломки, но при этом эти головоломки стали менее интересными для таких людей, как Алон, посвятивших их изучению всю свою жизнь. Тем не менее, по словам Алона, «многие, а может быть, и большинство хороших математиков будут использовать ИИ». Он отмечает, что ряд первоклассных математиков ушли из академической среды, чтобы работать в компаниях, занимающихся разработкой ИИ, не только потому, что там хорошо платят, но и потому, что «возможно, именно там сейчас самое интересное». В июле 2026 года, в тот же день, когда Цимерман был удостоен Филдсовской премии, высшей награды в области математики, он объявил, что уходит из академической среды, чтобы работать в OpenAI.Что такое задача о единичном расстоянии? Допустим, вы хотите расположить точки на плоскости так, чтобы между ними были пары точек, находящиеся на одинаковом расстоянии друг от друга. Как можно создать наибольшее количество таких пар? Если расположить точки так, чтобы они образовывали многоугольники, например квадраты и пятиугольники, то количество пар будет равно количеству точек.
Но если расположить точки в виде решетки, можно создать гораздо больше равноудаленных пар.
Эрдеш предположил, что добиться большего невозможно. В течение 80 лет математики в целом считали, что он прав. Но Эрдёш ошибался. OpenAI нашла закономерность (похожую на ту, что показана ниже), которая при заданном количестве точек позволяет получить больше пар, чем решетка.
