Обозревательница Натали Уолховер рассуждает о том, можно ли считать прикладную теорию категорий «зеленой» математикой.
Я долгое время изучал кристальную красоту традиционной математики, но теперь мне хочется заняться чем-то более приземлённым», — Джон Баэз(открывает новую вкладку) написал в своём блоге(открывает новую вкладку) в 2011 году. Влиятельный физик-математик (работающий попеременно в Калифорнийском университете в Риверсайде и Эдинбургском университете) Баэз всё больше беспокоился о состоянии нашей планеты и считал, что математики могут что-то с этим сделать. Баэз призывал к разработке новой математики — он называл ее «зеленой» математикой — для более точного описания процессов, происходящих в биосфере и климате Земли. Со своей стороны, он стремился применить теорию категорий — высокоабстрактную область математики, в которой он является экспертом, — для моделирования процессов в природе. Звучит как несбыточная мечта. Математика хорошо подходит для описания простых изолированных систем, но по мере перехода от атомов к организмам и экосистемам краткие математические модели становятся все менее эффективными. Системы слишком сложны.
В философии «квалиа» относится к субъективным качествам нашего восприятия: к тому, как Алиса видит синий цвет, а Боб — радость. Квалиа — это «то, как нам кажутся вещи», по выражению покойного философа Дэниела Деннета. В этих статьях наши авторы следуют своему любопытству и исследуют важные, но не всегда имеющие ответ научные вопросы.
Однако за годы, прошедшие после публикации статьи Баэза, к нему присоединились более 100 математиков, которые стали «прикладными теоретиками категорий» и попытались по-новому смоделировать различные системы реального мира. У прикладной теории категорий теперь есть ежегодная конференция, научный журнал, институт, а также исследовательская программа, финансируемая правительством Великобритании. Однако скептицизма хоть отбавляй. «Когда я говорю, что мы аутсайдеры и никому не нравимся, это не совсем правда, но отчасти правда», — сказал мне один специалист по теории категорий, Маттео Капуччи(открывается в новой вкладке).
Я решил разобраться, что представляет собой эта развивающаяся область исследований. Как одна из самых, казалось бы, абстрактных областей чистой математики может помочь пролить свет на такую сложную систему, как биосфера? Является ли она значительным шагом вперед по сравнению с другими подходами к моделированию? Может ли математика быть экологичной? Мне это казалось маловероятным. К своему удивлению, я узнал, что в последнее время теория прикладных категорий добилась определенных успехов. Конечно, она еще не так «зелена», как надеялся Баэз, но этот подход показывает себя с лучшей стороны в таких важных областях, как эпидемиология и обеспечение безопасности искусственного интеллекта. Вполне вероятно, что самые абстрактные идеализации могут помочь лучше понять самые запутанные реалии.
Теория категорий возникла в 1945 году как попытка формализовать отношения между математическими объектами и вскоре превратилась в мощную и продуктивную область математики. Что мы подразумеваем под математическими объектами? Примерами могут служить числа, функции и множества. Для специалиста по теории категорий объект определяется его взаимосвязью с другими объектами. Что такое черный король в шахматах? «Можно сказать, что это кусок дерева определенной формы, выкрашенный в черный цвет, но это не важно; это может быть солонка», — сказал Том Лейнстер(открывается в новой вкладке), математик из Эдинбургского университета. Скорее, черного короля можно определить по тому, как он ходит по шахматной доске и как может брать фигуры противника или получать от них шах.
Категория — это совокупность объектов и отношений между ними, или морфизмов. Давайте рассмотрим шахматный набор как категорию. Для этого можно изобразить его в виде диаграммы, где каждый объект — допустимая шахматная позиция — представлен в виде маленьких прямоугольников, а морфизмы, или возможные ходы, — в виде стрелок, соединяющих прямоугольники. Специалисты по теории категорий изучают способы отображения, наложения и соединения различных категорий.
Мы все интуитивно понимаем, что такое категории. Например, мы знаем, что 5 футов и 5 долларов — это не одно и то же с математической точки зрения. Можно умножить 5 футов на 3 фута и получить 15 квадратных футов. Но нельзя умножить 5 долларов на 3 доллара — квадратных долларов не существует. Можно сложить 5 долларов и 3 доллара или умножить 5 долларов на 3 (число, а не доллары). Но выражение «5 долларов умножить на 3 доллара» бессмысленно.
С точки зрения теории категорий, долларовые суммы — это объекты в категории, называемой одномерным векторным пространством. Представьте себе числовую прямую. Сумма в долларах — это стрелка (или «вектор»), которая начинается в точке с нулевым значением и проходит какое-то расстояние по прямой. Два вектора можно сложить, расположив их друг за другом, но умножение векторов не является допустимым морфизмом в одномерном векторном пространстве. Несмотря на то, что мы ничего не знаем о векторных пространствах или морфизмах, нам каким-то образом удается не допускать досадных ошибок при работе с категориями на кассе. Но когда речь идет о более разнообразных и сложных понятиях, чем расстояния и деньги, мы сталкиваемся с проблемами. «Это постоянно встречается в моделировании, например в эпидемиологическом моделировании, — сказал мне Баэз. — Если вы пишете модель в обычном программном обеспечении и вводите в программу число 35, программа не подскажет, что это — 35 долларов, 35 человек или 35 доз лекарства. Таким образом, вы смешиваете все это в одну кучу, и из-за этого легче допустить ошибку».
Прикладная теория категорий позволяет моделировать системы реального мира с помощью объектов и морфизмов. «Категории — это способы организации логических структур», — сказал Брендан Фонг, соучредитель и генеральный директор Института Топологии(открывается в новой вкладке) в Беркли, который занимается применением теории категорий.
В 2000-х годах физик Боб Коке применил эту теорию к квантовой механике(открывается в новой вкладке), и с тех пор она используется для рассуждений о квантовых вычислениях. Несколько лет спустя Баэз начал размышлять о категоризации биосферы, а математик Дэвид Спивак, один из основателей Института Топоса, независимо от него стал первопроходцем в области прикладной теории категорий, размышляя о базах данных. «Дэвид стремится формализовать и сделать понятным весь мир», — говорит Фонг. «Больше всего на свете он ненавидит недопонимание».
В лекции 2022 года, которую я смотрел онлайн, Спивак рассказал о том, как прикладная теория категорий может работать на практике. Бухгалтер рассказывает специалисту по прикладной теории категорий об объектах в своей базе данных, таких как сотрудники и суммы в долларах. Затем специалист по теории категорий разрабатывает формальную модель системы — категорию со строгой логической структурой, — которую затем можно связать с другими категориями, соответствующими другим базам данных и электронным таблицам, чтобы смоделировать всю компанию. Таким образом, прикладная теория категорий — это универсальный язык для описания разнородных частей какой-либо гигантской системы.
Моделирование климата — один из первоначальных кандидатов на роль «зеленой» математики, по мнению Баэза, — это попытка смоделировать архетипическую гигантскую систему — саму Землю. Эксперты в различных областях, связанных с земной системой, должны логически сопоставить свои знания и потоки данных, чтобы понять картину в целом. Однако Баэз и другие эксперты сказали мне, что специалисты по прикладной теории категорий не имеют отношения к климатологии, отчасти потому, что климатические модели уже достаточно сложны и функционируют, несмотря на отсутствие математической строгости в их объединении. По мнению математиков, такая строгость может сделать модели более надежными, гибкими и способными лучше интегрировать новую информацию, но для того, чтобы начать все с чистого листа, нужны убедительные аргументы и усилия.
«Это одна из проблем, с которыми мы постоянно сталкиваемся в прикладной теории категорий, — говорит Амар Хадзихасанович(открывается в новой вкладке) из Таллиннского технического университета в Эстонии. — Мы можем прийти к людям и сказать: «Ваша модель была бы лучше, если бы вы собрали ее в соответствии с этими базовыми принципами». А они нам в ответ: «Хорошо, но сколько времени это займет?» Это большие вложения, прежде чем вы сможете пожинать плоды».
Математика мало что может сделать для решения проблемы недостаточного внимания политиков к климатическому кризису, но прикладная теория категорий уже нашла применение в других сферах, вызывающих общественный интерес. Например, Баэз сотрудничал с компанией Topos и канадским учёным-компьютерщиком Нэйтом Осгудом, который специализируется на эпидемиологическом моделировании вспышек заболеваний. Во время работы над мерами по борьбе с пандемией в Канаде в Университете Саскачевана Осгуд был разочарован тем, что существующее программное обеспечение для моделирования не позволяет экспертам объединять знания из разных областей.
Чтобы спрогнозировать развитие вспышки, эпидемиологи часто используют диаграммы «запасы и потоки»: на них изображены группы людей (восприимчивые, инфицированные, выздоровевшие, умершие), а стрелки показывают потоки между ними в зависимости от таких факторов, как контакт с вирусом или его вирулентность. Запасы и потоки — это просто объекты и морфизмы категории. Расположение прямоугольников и стрелок на диаграммах преобразуется в уравнения, описывающие эволюцию системы. За последние несколько лет Осгуд, Баэз и их команда разработали программный пакет под названием StockFlow, который формализует такого рода моделирование. Специалисты могут моделировать различные аспекты вспышки заболевания, например то, как неравенство в сфере здравоохранения влияет на уровень заражения восприимчивых к болезни людей, и объединять эти категории в более крупные. «Теория категорий способна работать с более сложными формами объединения», — говорит Баэз.
StockFlow пока не получил широкого распространения среди эпидемиологов, но Осгуд обучает ему своих студентов в надежде привить интерес к нему следующему поколению разработчиков моделей. «Это действительно то, что можно использовать, — говорит Лейнстер. — Это серьезный инструмент». Тем временем Хаджихасанович и Капуччи участвуют в проекте Safeguarded AI, который финансируется ARIA — агентством перспективных исследований, получающим финансирование от правительства Великобритании. В рамках проекта теория категорий применяется для решения проблемы безопасности искусственного интеллекта. Как, задается вопрос в рамках программы, можно доверить непредсказуемым и подверженным ошибкам системам искусственного интеллекта управление важнейшими объектами реального мира, такими как атомные электростанции или электросети?
Я вижу, что здесь есть потребность в таком решении, и команда предлагает умный подход: создавать формальные модели сложных систем, на которых ИИ будет тренироваться. Эти модели должны иметь ту же логическую структуру, что и реальная система, и корректно отображать связи между различными типами объектов. «Теория категорий предлагает модульный и композиционный подход к решению этой задачи, — сказал Капуччи. — Мы разрабатываем фундаментальную технологию, которую можно применять во многих ситуациях».
Прикладные теоретики категорий считают, что их подход окупится в долгосрочной перспективе, по мере того как системы будут становиться все более сложными и взаимосвязанными, а искусственный интеллект будет все активнее в них участвовать. Действовать наугад не получится. «В конечном итоге это будет очень важная работа», — говорит Хаджихасанович. Многие специалисты пришли в эту сферу, потому что разделяют экологический подход Баэза и надеются со временем заняться более «зелеными» проблемами. Баэз по-прежнему полон надежд. Он двоюродный брат Джоан Баэз, фолк-певицы и активистки, и на него сильно повлиял его дядя (отец Джоан), физик и социально активный квакер. По его словам, он «впитал в себя» стремление помогать миру, а не «просто развлекаться». Я спросил, что именно в биосфере, по его мнению, может помочь нам понять теория категорий.
По его мнению, мы неправильно классифицируем биологические системы. Мы принимаем их за машины, объекты, которые выполняют определенные задачи, потребляя материю и энергию и производя желаемый результат и отходы. «Мы фокусируемся на том, что нас интересует, и не обращаем внимания на отходы и на то, откуда берется энергия, — говорит Баэз. — Вся наша технология и даже вся наша математика основаны на таком подходе». Однако живые системы — это совсем другая категория. Они устроены не для того, чтобы выполнять какие-то задачи. Эволюция сделала жизнь «невероятно тонкой и сложной во многих отношениях, которые мы не в состоянии до конца постичь», — сказал он. Например, гены — это не отдельные части механизма, выполняющие свои функции, а элементы, каждый из которых играет множество ролей и оказывает влияние на другие. В экосистеме нет отходов: то, что для одного существа является отходами, для другого — пища.
Похожие:
- Где в предложении живет смысл? Возможно, нам подскажет математика.
- Дирижирую математическим оркестром из центра
- С помощью теории категорий математика выходит за рамки равенства
- Как климатологи предсказывали будущее до того, как оно наступило
- Климатологи сталкиваются с призраками в своих машинах: облаками
«Не думаю, что у нас уже есть математический аппарат для понимания таких систем», — говорит Баэз, полагая, что для моделирования этих систем потребуются новые категории с ранее не изученными логическими структурами. «Именно такую математику я хотел бы развивать, потому что надеюсь, что она поможет нам относиться к миру добрее, если мы будем лучше его понимать и не будем воспринимать природу как сырье, из которого наши машины извлекают выгоду, чтобы делать то, что мы хотим. Такой подход, которого мы придерживаемся сейчас, упирается в стену». Такое отношение в итоге уничтожит всю планету. На самом деле мы могли бы больше ценить нечеловеческие формы жизни, экосистемы и климат, если бы воспринимали их и себя как объекты одной категории.
Как и эти математики, я стремлюсь сделать мир лучше, занимаясь любимым делом. (Разве не все мы к этому стремимся?) С философской точки зрения я вижу перспективы в прикладной теории категорий. Время покажет, действительно ли этот подход поможет человечеству и планете. Но тем, кто чувствует призвание творить добро и заниматься математикой, стоит попробовать.
источник: https://www.quantamagazine.org/can-the-most-abstract-math-make-the-world-a-better-place-20260304/
Натали Уолховер — Обозреватель