Каждую неделю журнал Quanta объясняет одну из самых важных идей, лежащих в основе современных исследований. На этой неделе автор статьи по математике Джозеф Хоулетт обсуждает так называемые задачи на премию тысячелетия — одни из самых важных открытых вопросов в математике.
На протяжении веков математики превращали свою дисциплину в игру. Публичные математические конкурсы были обычным делом: например, в 1535 году Никколо Фонтана Тарталья и Антонио Фиор обменялись 30 кубическими уравнениями, пытаясь поставить друг друга в тупик. (Тарталья победил, открыв общий метод поиска таких решений.) В 20 веке венгерский математик Пауль Эрдеш любил выдвигать гипотезы и обещать денежные призы любому, кто сможет их доказать (или опровергнуть). И еще до того, как я познакомился с чистой математикой, я слышал о задачах на премию тысячелетия— семи знаменитых вопросах, за решение которых полагается вознаграждение в миллион долларов. В какой еще академической дисциплине есть публичные задачи, за решение которых назначаются награды?
Задачи на премию тысячелетия были учреждены в 2000 году Математическим институтом Клэя, с целью финансирования и популяризации математических исследований. Это объявление было сделано в 1900 году, когда Дэвид Гильберт представил список из 23 задач, которые, как он надеялся, будут определять развитие математики в следующем столетии. Аналогичным образом, проблемы, связанные с премией тысячелетия, свидетельствуют о текущем состоянии отрасли и в то же время представляют собой амбициозный набор задач, определяющих ее развитие на столетия вперед.
Прошло уже четверть века, а шесть из семи проблем, связанных с присуждением премии тысячелетия, остаются нерешенными — и все семь премий так и не были получены. В 2003 году Григорий Перельман доказал гипотезу Пуанкаре — утверждение, согласно которому трехмерные объекты в определенном смысле эквивалентны сфере. Но загадочный Перельман отказался от денежной премии, потому что считал, что его работа во многом обязана более ранним результатам Ричарда Гамильтона, который ничего бы не получил. Его отказ бросил вызов слишком распространенному взгляду на математику, который воплощен в таких наградах, как премия тысячелетия: математика — это индивидуалистическое предприятие, развиваемое гениями, которые работают в одиночку.
Другой ярый критик премий — российский математик Анатолий Вершик — заявил, что их денежная направленность искажает представление о математике и укрепляет “избитое представление о том, что она заключается только в решении конкретных задач”. Он спросил своих коллег: “Нужен ли математике такой неприличный интерес?”
Тем не менее, программа, безусловно, повысила осведомленность людей об открытых математических задачах и активных областях исследований. И это помогло математикам сориентироваться. Когда я спрашиваю математика, почему важно его собственное исследование, он часто находит способ связать его с проблемой, получившей премию тысячелетия, зная, что это может повысить значимость результата как в глазах коллег, так и любителей математики.
Шесть оставшихся задач охватывают такие дисциплины, как теория чисел, геометрия, топология, теоретическая информатика и математическая физика. Решение любой из них окажет на математику гораздо большее влияние, чем сумма приза в долларах. И хотя ответы на эти вопросы еще не получены, все они стали предметом постоянного потока новых исследований, и прогресс в этой области постоянно растет.
Что нового и заслуживающего внимания
Из всех вопросов, включенных в список, гипотеза Римана вероятно, это самая известная из них. Математики часто называют ее прототипом невыполнимой математической задачи. В ней рассматривается важная функция в теории чисел, которая кодирует распределение простых чисел — любимое занятие многих математиков. Но каким бы безнадежным ни казалось полное доказательство этой гипотезы на данный момент, исследователи постепенно продвигаются вперед, что позволило им многое узнать о мире простых чисел. Одно из крупнейших математических открытий прошлого года наложило более жесткие ограничения на число возможных исключений из гипотезы. Еще одна известная проблема, получившая премию тысячелетия, связана с уравнениями Навье-Стокса. Эти уравнения описывают, как циркулируют жидкости — от воды, текущей по ручьям и рекам, до воздуха, который окружает нас и поддерживает в нас жизнь. В этом замечательном пояснительном материале автор: Кевин Хартнетт, вы можете найти инфографику, которая раскрывает определение каждой переменной в уравнениях. Но, несмотря на то, что роли всех этих переменных хорошо понятны, решение уравнений — это абсолютный математический кошмар. Математики хотят знать, действительно ли уравнения работают во всех ситуациях или иногда они не работают. В 2022 году исследователи показали (с помощью компьютеров), что конкретная версия более простого уравнения Навье-Стокса, уравнения Эйлера, иногда не работает. Другая недавняя работа была посвящена тому, когда решения отражают возможные физические реалии, а когда нет.
Последний информационный бюллетень, который я опубликовал, был посвящен эллиптическим кривым, излюбленный инструмент теоретиков чисел. Точки на этих кривых связаны между собой красивым образом, который определяется числом, называемым рангом кривой. Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера гласит, что для каждой эллиптической кривой ее ранг также связан с поведением важной функции, связанной с кривой, называемой L-функцией. Эта гипотеза была основана на компьютерных экспериментах, которые выявили удивительную корреляцию для множества примеров кривых. Чтобы продвинуться в решении этой проблемы, математики исследуют глубокую связь между эллиптическими кривыми и высокосимметричными уравнениями, называемыми модулярными формами.
| У меня нет возможности подробно останавливаться на других гипотезах из списка, но прошлогодняя беседа Джорданы Цепелевич с алгебраическим геометром Клэр Вуазен касалась ее работы над гипотезой Ходжа. Проблема Янга-Миллса, которая относится к стандартной модели физики элементарных частиц, также остается открытой. И последнее, но не менее важное: мне даже не нужно упоминать P против NP, о которых Бен Брубейкер, сотрудник отдела компьютерных наук Quanta, прекрасно рассказал в этой статье за 2023год, а также в прошлогоднем информационном бюллетене. |
источник: Автор: ДЖОЗЕФ ХОУЛЕТТ