Спустя более трех столетий была решена геометрическая задача, возникшая в результате королевского пари.
Представьте, что вы держите в руках две игральные кости одинакового размера. Можно ли просверлить в одной из них туннель, достаточно большой, чтобы в него проскользнула другая?
Возможно, вы инстинктивно воскликнете: «Конечно, нет!» Если да, то вы не одиноки. В конце XVII века неизвестный заключил пари на этот счёт с принцем Рупертом Рейнским. Руперт — племянник Карла I Английского, командовавший войсками роялистов во время Английской гражданской войны — провёл последние годы жизни, изучая металлургию и стеклоделие в своей лаборатории в Виндзорском замке.
Руперт выиграл пари. Математик Джон Уоллис, рассказывая об этом в 1693 году, не сообщил, написал ли Руперт доказательство или просверлил отверстие в настоящем кубе. Но сам Уоллис математически доказал, что если просверлить прямой туннель в направлении одной из внутренних диагоналей куба, его можно сделать достаточно широким, чтобы пропустить другой куб. Это очень тесно: если увеличить второй куб всего на 4%, он уже не пройдёт. Естественно задаться вопросом, какие ещё фигуры обладают этим свойством. «Я считаю эту задачу вполне канонической», — сказал Том Мёрфи. (открывает новую вкладку), инженер-программист из Google, который в свободное время много изучал этот вопрос. «Его бы снова и снова открывали — инопланетяне бы уже прилетели сюда».
Всё многообразие фигур слишком разнообразно, чтобы в нём разобраться, поэтому математики склонны сосредотачиваться на выпуклых многогранниках: формах, подобных кубу, с плоскими сторонами и без выступов или углублений. Когда такая фигура в одних направлениях намного шире других, обычно легко найти прямой туннель, через который пройдёт другая копия этой фигуры. Но многие известные выпуклые многогранники — например, додекаэдр или усечённый икосаэдр, форма, образующая футбольный мяч, — обладают высокой симметрией и сложны для анализа. Среди них «в течение сотен лет мы знали только куб», — сказал Якоб Штайнингер, математик из Статистической службы Австрии, федеральной статистической организации Австрии.
Затем, в 1968 году, Кристоф Скриба доказал, что тетраэдр и октаэдр (открывает новую вкладку)также обладают «свойством Руперта», как его теперь называют математики. В результате всплеска активности за последнее десятилетие профессиональные математики и любители обнаружили туннели Руперта во многих наиболее изученных выпуклых многогранниках, включая додекаэдр, икосаэдр(открывает новую вкладку) и футбольный мяч (открывает новую вкладку). Свойство Руперта оказалось настолько распространенным, что математики сформулировали общее правило: каждый выпуклый многогранник будет обладать свойством Руперта. (открывает новую вкладку). Никто не мог найти ни одного, который бы этого не делал, — до сих пор.
В статье, опубликованной в Интернете в августе, Штейнингер и Сергей Юркевич (открывает новую вкладку)— исследователь из A&R Tech, австрийской компании, занимающейся транспортными системами, — описывают фигуру с 90 вершинами и 152 гранями, которую они назвали Нопертедроном . (открывает новую вкладку) (от «Ноперт», придуманного Мёрфи, где объединены «Руперт» и «нет»). Штейнингер и Юркевич доказали, что как ни пробуривай прямой туннель через нопертедрон, второй нопертедрон не пролезет. Доказательство потребовало сочетания теоретических достижений и масштабных компьютерных вычислений и опирается на тонкое свойство вершин нопертедрона. «Это чудо, что оно работает», — сказал Штайнингер.
Проходя сквозь тени
Чтобы увидеть, как один куб может проходить сквозь другой, представьте, что вы держите куб над столом и смотрите на его тень (предполагая, что он освещён сверху). Если держать куб в стандартном положении, тень будет квадратной. Но если направить один из его углов прямо вверх, тень будет представлять собой правильный шестиугольник.
В 1693 году Уоллис показал, что квадратная тень помещается внутрь шестиугольника, оставляя тонкий край. Это означает, что, направив угол куба вверх, можно просверлить вертикальный туннель, достаточно большой для прохода второго куба. Примерно столетие спустя Питер Нивланд показал, что другая ориентация отбрасывает ещё более качественную тень — такую, которая может вместить куб, более чем на 6% больший, чем куб с туннелем.
Quanta Magazine
Каждый последующий анализ более сложных фигур основывался на этом процессе поворота фигуры в разных направлениях и поиска одной тени, которая вписывается в другую. С помощью компьютеров математики обнаружили проходы Руперта в самых разных фигурах. Некоторые из них невероятно точны — например, проход в «триакистетраэдре» имеет запас, составляющий всего около 0,000002 длины радиуса фигуры. «Мир смешения вычислений и дискретной геометрии расцвёл, сделав подобные вычисления возможными», — сказал Джозеф О’Рурк. (открывает новую вкладку), почетный профессор колледжа Смита. Исследователи, разработавшие алгоритмы для поиска проходов Руперта, заметили любопытную дихотомию: для любого выпуклого многогранника алгоритм, по-видимому, либо находит проход почти сразу, либо не находит его вообще. За последние пять лет математики накопили небольшую коллекцию фигур-отступов, для которых проход не найден.
«Я уже две недели мучаюсь с настольной игрой, пытаясь построить ромбоикосододекаэдр», — сказал Бенджамин Гриммер. (открывает новую вкладку), прикладной математик из Университета Джонса Хопкинса, имея в виду тело, состоящее из 62 правильных треугольников, квадратов и пятиугольников. «Кажется, это тело сопротивляется любым попыткам».
Но такое сопротивление не доказывает, что фигура является Нопертом. Существует бесконечно много способов сориентировать фигуру, а компьютер может проверить лишь конечное число. Исследователи не знают, являются ли эти отступы истинными Нопертами или просто фигурами, для которых сложно найти отрывки Руперта. Что они точно знают, так это то, что кандидаты на «ноперты» встречаются невероятно редко. Начиная с прошлого года, Мёрфи начал конструировать сотни миллионов фигур. (открывает новую вкладку). К ним относятся случайные многогранники, многогранники, вершины которых лежат на сфере, многогранники с особой симметрией и многогранники, в которых он переместил одну вершину, чтобы намеренно испортить предыдущий проход Руперта. Его алгоритм легко нашёл туннели Руперта практически для каждого из них. Контраст между этими быстрыми результатами и упорством сторонников теории Ноперта заставил некоторых математиков заподозрить существование настоящих Нопертов. Но до августа у них были лишь подозрения.
Нет прохода
30-летний Штайнингер и 29-летний Юркевич дружат с тех пор, как в подростковом возрасте вместе участвовали в математических олимпиадах. Хотя оба в итоге оставили академическую карьеру (Юркевич получил докторскую степень, а Штайнингер — степень магистра), они продолжают вместе исследовать нерешённые проблемы. «Мы ели пиццу три часа назад и почти всё время говорили о математике», — рассказал Штайнингер Quanta . «Вот чем мы занимаемся». Пять лет назад пара случайно наткнулась на видео на YouTube, где один куб проходит сквозь другой, и была сражена наповал. Они разработали алгоритм для поиска туннелей Руперта и вскоре убедились, что некоторые фигуры относятся к туннелям Ноперта. В статье 2021 года они предположили, что ромбоикосододекаэдр не относится к туннелям Руперта. (открывает новую вкладку). Их работа, предшествовавшая недавним исследованиям Мёрфи и Гриммера, была, «я думаю, первой, выдвинувшей предположение о том, что могут быть твёрдые тела, не обладающие этим свойством», — сказал Штайнингер. Чтобы доказать, что фигура является Нопертом, необходимо исключить туннели Руперта для каждой возможной ориентации двух фигур. Каждая ориентация может быть записана как набор углов поворота. Этот набор углов затем может быть представлен как точка в многомерном «пространстве параметров».
Сергей Юркевич (первое фото) и Якоб Штайнингер (второе фото), друзья с подросткового возраста, с удовольствием вместе работают над математическими задачами, хотя ни один из них не остался в академической среде. Флорентина Штадльбауэр; С разрешения Якоба Штайнингера
Предположим, вы выбираете ориентацию для двух фигур, и компьютер сообщает, что вторая тень выходит за пределы границы первой. Это исключает одну точку из пространства параметров. Но вы можете исключить гораздо больше, чем одну точку. Если вторая тень значительно выступает, потребуется значительное изменение, чтобы переместить её внутрь первой тени. Другими словами, вы можете исключить не только свою исходную ориентацию, но и «близлежащие» ориентации — целый блок точек в пространстве параметров. Штейнингер и Юркевич пришли к результату, который они назвали своей глобальной теоремой, которая точно определяет размер блока, который вы можете исключить в этих случаях. Проверяя множество различных точек, вы потенциально можете исключать блок за блоком в пространстве параметров.
Но вы можете исключить гораздо больше, чем одну точку. Если вторая тень значительно выступает, потребуется значительное изменение, чтобы переместить её внутрь первой тени. Другими словами, вы можете исключить не только свою исходную ориентацию, но и «близлежащие» ориентации — целый блок точек в пространстве параметров. Штейнингер и Юркевич пришли к результату, который они назвали своей глобальной теоремой, которая точно определяет размер блока, который вы можете исключить в этих случаях. Проверяя множество различных точек, вы потенциально можете исключать блок за блоком в пространстве параметров.
Если эти блоки покрывают всё пространство параметров, вы докажете, что ваша фигура является непертовской. Но размер каждого блока зависит от того, насколько вторая тень выступает за пределы первой, и иногда она выступает не очень далеко. Например, предположим, что вы начинаете с двух фигур в абсолютно одинаковом положении, а затем слегка поворачиваете вторую фигуру. Её тень будет выступать за пределы первой тени не более чем на крошечный отрезок, поэтому глобальная теорема исключит только крошечный квадрат. Эти квадраты слишком малы, чтобы покрыть всё пространство параметров, что оставляет возможность того, что какая-то пропущенная вами точка может соответствовать туннелю Руперта.
Я считаю эту проблему вполне канонической.… Инопланетяне пришли бы и сюда. — Том Мерфи
Чтобы справиться с этими небольшими переориентациями, пара предложила дополнение к своей глобальной теореме, которое они назвали локальной теоремой. Этот результат касается случаев, когда на границе исходной тени можно найти три вершины (или угловые точки), удовлетворяющие некоторым особым требованиям. Например, если соединить эти три вершины в треугольник, он должен содержать центр тени. Исследователи показали, что при соблюдении этих требований любая небольшая переориентация фигуры создаст тень, которая выдвинет хотя бы одну из трёх вершин дальше наружу. Таким образом, новая тень не может лежать внутри исходной тени, а значит, не создаст туннеля Руперта.
Если ваша фигура отбрасывает тень, у которой отсутствуют три подходящие вершины, локальная теорема неприменима. И все ранее выявленные кандидаты на Ноперт имеют как минимум одну тень с этой проблемой. Штейнингер и Юркевич проанализировали базу данных, содержащую сотни наиболее симметричных и красивых выпуклых многогранников, но не смогли найти ни одной фигуры, у которой все тени были бы подходящими. Поэтому они решили самостоятельно сгенерировать подходящую фигуру. Они разработали алгоритм для построения фигур и проверки их на наличие трёх вершин. В конечном итоге алгоритм создал Нопертедрон, состоящий из 150 треугольников и двух правильных 15-сторонних многоугольников. Он похож на круглую хрустальную вазу с широким основанием и верхней частью; один из поклонников этой работы уже распечатал её на 3D-принтере, чтобы использовать в качестве подставки для карандашей. (открывает новую вкладку).
Затем Штейнингер и Юркевич разделили пространство параметров ориентаций примерно на 18 миллионов крошечных блоков и проверили центральную точку каждого блока, чтобы выяснить, приводит ли соответствующая ему ориентация к проходу Руперта. Ни один из них не произошёл. Затем исследователи показали, что каждый блок удовлетворяет либо локальной, либо глобальной теореме, что позволило им исключить весь блок. Поскольку эти блоки заполняют всё пространство параметров, это означало, что прохода Руперта через Нопертедрон нет.
СВЯЗАННЫЙ:
- Новая пирамидообразная фигура всегда оказывается одной и той же стороной
- Самый большой диван, который можно передвинуть за угол
- Математики открывают новые фигуры для решения геометрической задачи, которая была актуальна десятилетиями
«Естественная гипотеза оказалась ложной», — сказал О’Рурк.
Пока неясно, смогут ли математики использовать новый метод для генерации других многогранников Nopert, или же им удастся найти другую локальную теорему, которая применима к таким кандидатам, как ромбоикосододекаэдр. Но теперь, когда математики знают о существовании многогранников Nopert, «мы имеем надежную основу для изучения других фигур», — сказал Мерфи. Мерфи, который, как и Штайнингер и Юркевич, изучал этот вопрос ради него самого, независимо от своей основной работы, чувствует родство с принцем Рупертом, существующее на протяжении веков. «Мне нравится, что он решил использовать свою пенсию, чтобы заниматься математикой и наукой в своём замке», — сказал он.
Тем временем Штайнингер и Юркевич ищут новые вопросы для исследования. «Мы всего лишь скромные математики — нам нравится работать над такими задачами», — сказал Штайнингер. «Мы продолжим это делать».
источник: https://www.quantamagazine.org/first-shape-found-that-cant-pass-through-itself-20251024/