Математики обнаружили, что в широком классе сетей поведение резко меняется после прохождения критической точки.
За неделю до Рождества 2025 года пятеро математиков заперлись в аудитории Швейцарской высшей технической школы Цюриха. Настроение было наэлектризованным: они были вот так близки к прорыву, который определит всю их дальнейшую карьеру. Группа, в которую входили тогдашние постдоки Сахар Дискин и Филип Исо, аспирант Ритвик Раманан Радхакришнан, Бенни Судаков и Венсан Тассион, совершенствовала решение одной из самых сложных открытых проблем в теории перколяции — изучении потока в сети.
Теория перколяции описывает множество явлений, но в качестве примера чаще всего приводят жидкости, например горячую воду, просачивающуюся через слой кофейной гущи. Дискин, Исо, Радхакришнан, Судаков и Тассион пытались найти фундаментальное объяснение тому, как графы — сети точек, соединенных линиями или ребрами, — могут захватываться большими связными областями, эквивалентными скоплениям жидкости. Группа наткнулась на простое доказательство, которое могло работать с огромным количеством различных графов.
«Сначала мы почти не поверили», — сказала Радхакришнан.
Они спешили подтвердить каждую деталь, желая воплотить свою идею в жизнь, пока она не ускользнула, и не обращали внимания на праздник. «Не уверена, что подруги и семьи были так же счастливы, как мы. Но в тот момент мы все были очень счастливы, — сказала Дискин. — Очень редко удается создать что-то настолько масштабное и значимое». Они работали всю ночь. К утру 17 декабря, воодушевленные проделанной работой, они были уверены, что их идея верна. К Рождеству они нашли доказательство. Они ответили на вопрос, который волновал ученых на протяжении десятилетий: как быстро просачивается жидкость, когда вы открываете для нее путь. «Я испытываю огромную радость от этого доказательства», — сказал Асаф Нахмиас из Тель-Авивского университета, изучающий теорию просачивания и теорию вероятностей. — Это потрясающе.
Жидкости Франклина
Просачивание может описывать множество видов движения: распространение вируса по городу, прохождение газа через фильтр или распространение лесного пожара. Но изначально этот термин был связан с углем. В 1940-х годах учёная Розалинд Франклин, ныне известная своей работой о структуре ДНК, работала в Британской ассоциации по исследованию использования угля (British Coal Utilization Research Association. BCURA), пытаясь понять сложные свойства угля, полукокса и графита. Учёные знали, что уголь пронизан крошечными отверстиями, но не понимали, почему одни виды угля пропускают через себя жидкости, а другие — нет.
Погружая уголь в различные жидкости, Франклин смог измерить типичный размер его пор, а также степень их вариативности. Примерно десять лет спустя исследователи Саймон Бродбент и Джон Хаммерсли, желая изучить угольные фильтры в противогазах, разработали математическую модель. Их идея была проста. Возьмите сетку из равноудаленных точек (также называемую решеткой) и монету. Для каждой пары соседних точек подбросьте монету. Если выпадет орел, соедините точки ребром. Между этими точками может течь жидкость. Если выпадет решка, поток будет заблокирован. Повторите эту процедуру для каждой пары точек. Как далеко сможет пройти жидкость?
Ответ зависит от вероятности того, что ваша монета упадет орлом вверх, которая может варьироваться от 0% до 100%. При низкой вероятности жидкость может течь только по нескольким каналам и собирается в небольшие изолированные лужи.
Но как только вероятность превышает порог, называемый критической вероятностью, решетка внезапно распахивается. Жидкость может свободно перемещаться по системе.
Точное значение критической вероятности меняется в зависимости от формы решетки: у квадратной решетки критическая вероятность отличается от критической вероятности треугольной решетки, а у трехмерной решетки — от критической вероятности двумерной решетки. Но если превысить это критическое значение, произойдет фазовый переход, как при превращении жидкой воды в лед. В конечном графе переход через критическую вероятность означает, что в сети будет доминировать одно большое «море» жидкости. На бесконечном графе — абстракции, в которой граф простирается бесконечно во всех направлениях, — будет доминировать одно или несколько бесконечных «морей». Физики быстро поняли, что с помощью перколяции можно изучать процессы плавления и кристаллизации, а также другие фазовые переходы, например намагничивание.
«Фазовые переходы в физике очень сложно изучать с научной точки зрения, — сказал Исо. — Перколяция — это своего рода карикатура. Поэтому люди часто пытаются сначала изучить ее, а потом уже применять полученные знания».
Для ученых, которых долгое время ставили в тупик сложные фазовые переходы в реальном мире, «это был способ уловить суть в очень простой модели», — сказал Итай Бенджамини из Института Вейцмана. — «Многие вещи, которые могли запутать ситуацию, были убраны».
На протяжении десятилетий исследователи пытались количественно оценить фазовый переход при перколяции. Они хотели точно знать, насколько быстро могут увеличиваться лужицы жидкости по мере того, как вы повышаете вероятность того, что ваша монета упадет орлом вверх. Многие предполагали, что лужицы будут расти очень быстро: ниже критической вероятности они будут крошечными, а выше — один океан покроет почти все пространство. Это предположение называется гипотезой резкости.
Когда в 1980-х годах была доказана острота на решетках — двумя независимыми группами, одна из которых работала в Нью-Джерси, а другая — в Москве, — это стало «основополагающим достижением», по словам Тома Хатчкрофта из Принстонского университета и Калифорнийского технологического института, который был научным руководителем Эасо. Зная остроту, математики могут многое сказать о структуре затопленной части сети — в частности, о том, что она очень похожа на лежащую в ее основе решетку. Поэтому, когда Бенджамини и его коллега Одед Шрамм спланировали экспедицию по внедрению перколяции в новые типы сетей, казалось естественным задаться вопросом, пойдет ли им на пользу четкость.
Вне поля зрения
В 1996 году Бенджамини и Шрамм захотели изучить перколяцию в гораздо более широком классе графов — транзитивных графах. Чтобы понять, что такое транзитивный граф, представьте себе сеть дорог на равнине в безлюдной местности. Если вы хотите понять, где находитесь на этих дорогах, ориентирами вам послужат только перекрестки. Но если граф транзитивный, все перекрестки выглядят одинаково — чтобы понять, где вы находитесь, вам понадобится GPS или компас. Квадратная решётка — один из примеров транзитивного графа: каждое пересечение состоит из четырёх рёбер, сходящихся под прямым углом. Но существует множество видов транзитивных графов — простые петли (слева внизу) и бесконечно расширяющиеся «деревья» (справа внизу), а также такие, которые практически невозможно представить.
Многие транзитивные графы представляют объекты из других областей математики, таких как алгебра или геометрия. Бенджамини был заинтригован этими междисциплинарными возможностями — он надеялся, что процесс перколяции поможет лучше понять сам граф. «У вас есть сцена, которая является геометрическим объектом, и танцор, который является случайным процессом», — сказал он. Наблюдая за танцором, он надеялся узнать больше о сцене.
В течение следующего десятилетия Бенджамини, Шрамм и их коллеги опубликовали множество результатов, касающихся перколяции транзитивных графов. Они доказали, что для класса бесконечных транзитивных графов перколяция демонстрирует фазовый переход при открытии ребер для потока: небольшие изолированные скопления жидкости внезапно сливаются в бесконечную сеть связанных между собой рек. Но они по-прежнему не знали, насколько быстро происходит этот переход. Насколько велики и многочисленны были «пулы» ниже критической точки? А выше критической точки бесконечная сеть представляла собой луг, испещренный ручьями, или больше походила на океан, затопивший весь график?
Бенджамини и Шрамм предположили, что версия гипотезы о резкости верна для всех бесконечных транзитивных графов. Эту гипотезу можно разделить на две отдельные задачи. «Докритическая» часть, посвященная тому, что происходит ниже критической точки, была решена в 2007 году Тончи Антуновичем и Иваном Веселичем. Их работа показала, что в этом случае «пузыри» жидкости очень малы и расположены далеко друг от друга. Даже на волосок ниже критической точки система больше похожа на Аризону, чем на Миннесоту.
У вас есть сцена, которая представляет собой геометрическую фигуру, и танцор, который представляет собой случайный процесс. Итай Бенджамини, Институт Вейцмана
«Сверхкритическая» часть гипотезы, которая касается вероятностей выше критического порога, оказалась более сложной. Здесь ландшафт должен состоять из множества морей, каждое из которых бесконечно велико. В таком случае большие водоемы, не соединенные с бесконечными морями, встречаются крайне редко. Это связано с тем, что большой изолированный водоем может оставаться обособленным только в том случае, если вокруг него много суши или замкнутых границ. Но доказательство сверхкритической остроты казалось недостижимым. Во-первых, предыдущая работа не помогла: доказательство сверхкритической остроты на решетках было длинным и сложным, и его нельзя было адаптировать к более общему случаю. В то время как другие фундаментальные результаты были упрощены за последнее десятилетие, «это была единственная неприступная крепость», — сказал Нахмиас.
Математики, работавшие над этой проблемой, «сделали несколько очень красивых открытий, заложили основы теории, сняли сливки», — сказал Бенджамини. «А потом мы уперлись в стену».
В 2008 году, когда прогресс в изучении не решетчатой перколяции замедлился, Шрамм умер в возрасте 46 лет, упав во время похода. «Мы потеряли гения Одеда Шрамма в результате трагического несчастного случая», — сказал Бенджамини. «А потом нам пришлось ждать появления новых гениев». Примерно десять лет назад эта область снова начала развиваться. Но доказать сверхкритическую остроту по-прежнему было сложно.
Затем команда из Цюриха представила простое доказательство.
Резкий поворот
Дискин, Исо, Радхакришнан, Судаков и Тассион не ставили перед собой цель доказать сверхкритическую остроту. Большую часть осени 2025 года они пытались понять, как критическая вероятность зависит от количества рёбер в графах.
Но пятеро математиков хотели получить результаты к концу семестра. По мере приближения этого срока у них по-прежнему не было ничего похожего на доказательство. Тогда Исо предложил сосредоточиться на остроте. Он, Дискин и Радхакришнан добились некоторого прогресса и представили свои результаты Судакову и Тассиону. Когда Тассион ознакомился с их работой, у него возникла идея — возможно, безумная. Он подумал, что с некоторыми поправками их стратегия может оказаться достаточно эффективной, чтобы доказать остроту для всех бесконечных транзитивных графов. «С тех пор эта мысль не давала мне покоя ни днем, ни ночью», — сказал Тассион.
«Винсент сходил с ума от этого, — сказал Дискин. — Думаю, он не спал как минимум две недели».
Дело было не только в Тассионе. За эти недели совместная работа превратилась в настоящий марафон. Математики постоянно обменивались идеями, часто переписываясь до поздней ночи. «У всех нас было предчувствие, что в этом может быть что-то стоящее, — сказал Дискин. — Поначалу мы полушутя говорили, что, может быть, одна и та же идея решит эту огромную гипотезу. Мы все смеялись друг над другом, но что, если, что, если?»
Радикальная простота
В предвкушении праздника они решили, что пришло время взяться за дело всерьез и написать свою работу. Чтобы доказать, что существование большого изолированного водоема маловероятно при превышении критической вероятности, математики предположили, что такой водоем у них есть, и изучили окружающую его береговую линию. Вдоль этой береговой линии протекали ручьи, впадавшие в водоем, но были и ручьи, которые возвращались в одно из бесконечных морей. Если бы эти ручьи где-то пересекались, математики пришли бы к противоречию — их так называемый конечный водоем на самом деле был бы частью бесконечного моря.
Возможно, та же идея могла бы разрешить эту огромную загадку. Мы все смеялись друг над другом, но что, если, что, если… Сахар Дискин, Швейцарская высшая техническая школа Цюриха
Если бассейн большой, то береговая линия будет длинной, а значит, увеличится площадь, на которой бассейн может соединиться с одним из бесконечных морей. Пятерка показала, что в таком случае избежать противоречия практически невозможно.
Дорабатывая последние детали своей статьи, они вдруг поняли, что с помощью простого изменения их аргументацию можно значительно улучшить.
Они использовали распространенный в теории вероятностей метод, называемый «разбрызгиванием»: они отложили в сторону несколько открытых ребер, что привело к небольшому снижению критической вероятности. Затем они нашли среди остальных ребер большой «пул» и проанализировали открытые пути вокруг него. Поскольку отложенные ребра не имели отношения к «пулу», их можно было анализировать независимо. Это упростило доказательство того, что в сочетании с остальной частью графа они почти всегда образуют путь к одному из бесконечных морей. Но в процессе обсуждения они пришли к нестандартному усовершенствованию этой стратегии. Если сначала проанализировать «брызги», доказательство становится намного проще. Более того, это делает аргумент достаточно убедительным, чтобы он работал для всех бесконечных транзитивных графов. «Мы обменивались идеями, как мячами, — сказал Дискин. — Каждый раз, когда вы набрасываете идеи друг на друга, эта стена становится все более размытой, пока не исчезает совсем. Тогда становится немного страшно, потому что может оказаться, что у тебя действительно получилось».
Наконец они убедились, что доказали это: если вероятность хоть немного превышает критический порог, то жидкость покрывает почти весь транзитивный граф.
Два месяца спустя они опубликовали статью. Их аргумент применим к перколяции на любом бесконечном транзитивном графе. «Если вчитаться в каждое предложение в доказательстве, оно покажется очень знакомым и простым, но то, как они все это объединили, действительно является новаторским», — сказал Нахмиас.
Существует множество неизученных систем перколяции, к которым можно применить этот метод, — например, графы, в которых не все узлы выглядят одинаково, или более сложные модели, описывающие замерзание воды или квантовые материалы. Однако остается главный вопрос: что именно происходит при достижении критической вероятности в трехмерных решетках — графах, которые наиболее точно отражают физические системы? Существует ли бесконечное море?
Прогресс в решении этой проблемы особенно важен для Бенджамини, который десять лет ждал возобновления своей экспедиции. «Для научного сообщества, для нас это очень глубокая и значимая теорема, и она является частью головоломки», — сказал он.
О доказательстве Бенджамини сказал: «Это жемчужина. Это жемчужина».